Pružinový oscilátor

Cvičení 1

Vypočítejte periodu, frekvenci a úhlovou frekvenci kmitání tělesa o hmotnosti 200 g zavěšeného na pružině o tuhosti 20 N/m.

\(T=0{,}63\ \mathrm{s}\); \(f=1{,}59\ \mathrm{Hz}\); \( \omega=10\ \mathrm{rad/s} \)

Cvičení 2

Ze vztahu pro periodu pružinového oscilátoru dokažte, že jeho úhlová frekvence je \(\omega=\sqrt{k/m}. \)

Cvičení 3

Těleso o hmotnosti \(m\) kmitá vodorovně bez tření na pružině o tuhosti \(k\) s amplitudou \(x_\mathrm{m}\).

Pomocí veličin \(m\), \(k\) a \(x_\mathrm{m}\) obecně vyjádřete

  1. potenciální energii v bodě obratu,
  2. celkovou mechanickou energii oscilátoru,
  3. kinetickou energii při průchodu rovnovážnou polohou,
  4. rychlost \(v_{x\mathrm{m}}\) průchodu rovnovážnou polohou.
  5. Jak souvisí \(v_{x\mathrm{m}}\) s úhlovou frekvencí kmitání?
Mechanická energie tohoto oscilátoru se zachovává. Je rovna potenciální energii pružnosti v bodě obratu a kinetické energii při průchodu rovnovážnou polohou. \[ \displaystyle E_m = \frac{1}{2} kx_m^2 = \frac{1}{2}mv_{xm}^2 \] \[ \displaystyle v_{x\mathrm{m}}=x_\mathrm{m}\sqrt{\frac km}=x_\mathrm{m}\omega \]

Cvičení 4

21.40 – Cvičení 4, přeměny forem energie při bungee jumpingu.
Zdroj

Adrenalinový zážitek v podobě skoku do propasti začíná z plošiny vysoko nad řekou (počáteční bod O). Pružné lano má klidovou délku 20 metrů, což znamená, že se začíná napínat až v bodě A nacházejícím se 20 metrů pod bodem O. Pohyb skokana pokračuje a zastaví se až v bodě B o dalších 15 metrů níže. Zanedbáme odpor vzduchu a budeme počítat s \(g=10\ \mathrm{m/s}^2\). Jelikož neznáme hloubku propasti, budeme určovat výšky vzhledem k plošině, takže potenciální energie tíhová v bodě O je \(E_{\mathrm{pg}O}=0\ \mathrm{J}\). Hmotnost skokana je 70 kg.

  1. Nakreslete schéma situace.
  2. Jaká je mechanická energie skokana v bodě O?
  3. Do tabulky doplňte číselné hodnoty energií.
  4. Jaká je rychlost skokana v bodě A?
  5. O kolik vzroste tahová síla lana při jeho prodloužení o jeden metr?
Poloha skokana Kinetická energie Potenciální energie tíhová Potenciální energie pružnosti Mechanická energie
Bod A
Bod B
\(v_A=20\ \mathrm{m/s}\); \(k=124\ \mathrm{N/m}\)

Cvičení 5

Na stojan zavěsíme pružinu a na její dolní konec zavěsíme těleso. Soustavu rozkmitáme. Co můžeme říci o tíhové síle působící na těleso a o tahové síle pružiny

  1. při průchodu rovnovážnou polohou,
  2. v horním bodě obratu,
  3. v dolním bodě obratu?

Cvičení 6

Pružina má klidovou délku 30 cm a tuhost 20 N/m. Zavěsíme na ni závaží o hmotnosti 200 g.

  • a) Vypočítejte délku pružiny, když se bude závaží nacházet v rovnovážné poloze.

Závaží vychýlíme z rovnovážné polohy o 5 cm směrem dolů a v čase t = 0 s je uvolníme.

  • b) Určete frekvenci a periodu kmitů.
  • c) Napište rovnici výchylky v závislosti na čase a nakreslete odpovídající graf.
  • d) Určete mechanickou energii oscilátoru. Potenciální energie tíhová je nulová v rovnovážné poloze.
  • e) Vypočítejte, jakou rychlostí projde závaží rovnovážnou polohou.
  1. \(39{,}8\ \mathrm{cm}\);
  2. \(1{,}59\ \mathrm{Hz}\); \(0{,}63\ \mathrm{s}\);
  3. \(y(t)=-0{,}05\cos(10t)\);
  4. \(0{,}121\ \mathrm{J}\);
  5. \(0{,}5\ \mathrm{m/s}\)

Cvičení 7

Zavěsíme-li na pružinu těleso o hmotnosti 2,0 kg, pružina se prodlouží o 0,060 m. Vypočtěte, s jakou frekvencí bude na této pružině kmitat těleso o hmotnosti 4,0 kg.

1,43 Hz

Cvičení 8

Vážení ve vesmíru. Astronauti na ISS se nacházejí ve stavu beztíže, což vede k úbytku jejich svalové hmoty a řídnutí kostí. Proto je nezbytné pravidelné měření hmotnosti. Pro inspiraci si pusťte následující video https://www.youtube.com/watch?v=oU3pp_4n84U.

Pomocí videoanalýzy nebo (rychleji, ale méně přesně) pomocí stopek na mobilu zjistěte periodu \(T_1\) kmitání stroje samotného a periodu \(T_2\) kmitání stroje s astronautem. Za předpokladu, že se jedná o pružinový oscilátor, jehož pohyblivé rameno bez astronauta má hmotnost \(m_1=5{,}9\ \mathrm{kg}\), vypočítejte

  1. tuhost pružiny,
  2. hmotnost astronauta.
\(k=3{,}6\cdot10^2\ \mathrm{N/m}\); \(M=71\ \mathrm{kg}\)

Cvičení 9

Jestliže na pružinu, která se nachází ve svislém pouzdře, položíme kuličku o hmotnosti \(m=100\ \mathrm{g}\), pružina se stlačí o úsek délky \(y_1=2{,}0\ \mathrm{mm}\). Do jaké výšky nad nezatíženou pružinu vyletí kulička, když pružinu s kuličkou stlačíme o 5,0 cm a pak ji uvolníme? Zanedbáme hmotnost pružiny, tření a odpor vzduchu.

Vrh svislý s počáteční rychlostí \(v_0=3{,}5\ \mathrm{m/s}\); \(h=57,5\ \mathrm{cm}\).
Tlačítko pro návrat zpět nahoru na stránce (back to top)