Tíhové zrychlení na Zemi

Úkol: Změřte tíhové zrychlení na povrchu Země.

Vybavení: stojan, závaží, provázek, délkové měřidlo, stopky

Tíhové zrychlení \(g\) je fyzikální veličina charakterizující gravitační pole v blízkosti otáčející se planety nebo jiného velmi hmotného objektu. Udává, s jakým zrychlením by v daném místě padala volně puštěná tělesa (čili bez přítomnosti odporu vzduchu) pozorovaná z povrchu planety. Hodnota \(g\) není konstantní, naopak závisí na mnoha parametrech: na hmotnosti planety, na vzdálenosti daného místa od středu planety, na rychlosti otáčení planety, na nehomogenitách v rozložení hmotnosti planety.

Tíhové zrychlení by zřejmě bylo možné měřit z volného pádu. Se svým učitelem můžete prodiskutovat, jakým experimentálním úskalím byste museli čelit a jaké faktory by nejvíce ovlivnily přesnost výsledku. V tomto návodu vám nabízíme alternativní metodu, metodu spolehlivou a méně náročnou na vybavení – měření \(g\) pomocí kmitů matematického kyvadla.

V tíhovém poli je k pevnému bodu pomocí provázku zavěšeno závaží. Vzdálenost těžiště závaží od bodu závěsu označíme \(L\). Závaží vychýlíme a pustíme bez počáteční rychlosti. Zavěšené těleso začne vykonávat pravidelný kmitavý pohyb kolem rovnovážné polohy. Doba, po které se průběh tohoto pohybu opakuje, se nazývá perioda, označíme ji \(T\).

Za předpokladu, že výchylky tělesa z rovnovážné polohy jsou malé, platí pro \(T\) a \(L\) modelový vztah

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\;, \]

kde \(g\) je hledané tíhové zrychlení.

Perioda \(T\) nezávisí na hmotnosti závaží – hmotnost provázku musí být zanedbatelná oproti hmotnosti závaží, odporová síla vzduchu musí být zanedbatelná oproti tíhové síle.

Perioda \(T\) téměř nezávisí ani na velikosti maximální výchylky \(x_\mathrm{M}\) z rovnovážné polohy. Ve skutečnosti, pokud se neodchýlí provázek od svislého směru o úhel \(\alpha_\mathrm{M}\) větší než 10°, bude zkreslení výsledku použitím tohoto přibližného vztahu menší než 0,2 %.

Postup měření:

Sestavte experiment a změřte \(L\) na tři platné číslice. Doporučujeme začít s největší délkou provázku, kterou budete postupně zkracovat.
Jelikož potřebujeme zjistit rovněž periodu alespoň na tři platné číslice, pro danou délku \(L\) změřte stopkami celkovou dobu trvání 10 kmitů. Periodu \(T\) v sekundách pak zapište na dvě desetinná místa.
Krok 1) a 2) opakujte pro jiné délky \(L\). Celkem proveďte 8 měření.
Ke každé dvojici \(L\) a \(T\) vypočítejte hodnotu g.
Hodnoty g statisticky zpracujte (určete interval spolehlivosti) a výsledek porovnejte se známým tíhovým zrychlením ve vašem městě.