Modelování radioaktivních rozpadů

Úkol: Prozkoumejte statistické chování velkého počtu radioaktivních jader a určete poločas rozpadu vašeho vzorku.

Vybavení: alespoň sto šestibokých hracích kostek, použít můžete i kostky cukru tvaru krychle, jejichž jednu stěnu si označíte

Princip:

Radioaktivní přeměna nestabilního jádra je náhodný jev. K rozpadům dochází samovolně a jejich pravděpodobnost nelze ovlivnit vnějšími podmínkami – ani teplotou, ani tlakem, ani chemickými vazbami. Nelze rovněž předpovědět, v jakém okamžiku k přeměně dojde. Ukazuje se ovšem, že pravděpodobnost rozpadu nestabilního jádra za jednotku času je až do okamžiku přeměny stále stejná.

Podobné je to s házením kostkou. Pravděpodobnost, že při jednom hodu padne šestka, je stejná, ať pokus provedete dnes nebo třeba za týden, a nelze ji změnit ani zahřátím, ani házením větší rychlostí.

V tomto praktiku budou tedy hrací kostky představovat radioaktivní jádra. Když na kostce padne šestka, znamená to, že se jádro rozpadlo, a kostku ze „vzorku“ vyřadíme. Když padne něco jiného, jádro se nerozpadlo a zůstává přítomno ve „vzorku“. Budeme předpokládat, že mezi dvěma vrhy uplyne vždy stejný čas, například jedna minuta.

Postup:

1. Určete počet „radioaktivních jader“ N₀ na začátku experimentu.
2. Vrhněte všemi kostkami, vyřaďte ty, na nichž padla šestka, a určete počet „radioaktivních jader“ \(N_1\) po uplynutí jedné minuty.
3. Krok 2) opakujte desetkrát a do tabulky zapisujte závislost počtu radioaktivních jader na čase.
4. Sestrojte graf závislosti \(N(t)\) a experimentálními body proložte vhodnou křivku.

Otázky:

1. Poločas rozpadu se značí \(T\) a představuje dobu, za niž se rozpadne polovina původního počtu radioaktivních jader. Určete z grafu poločas rozpadu \(T\) zkoumaného „vzorku“.
2. Proč v časech větších než 10 minut postupně ztrácí smysl pokračování v házení kostkami?
3. Radioaktivní konstanta \(\lambda\) vyjadřuje pravděpodobnost rozpadu za čas. Jaká je pravděpodobnost, že se naše modelové „jádro“ rozpadne za jednu minutu?
4. Teoreticky lze odvodit, že počet radioaktivních jader klesá exponenciálně a splňuje rovnici \(N(t)=N_0\mathrm{e}^{-\lambda t}\). Souhlasí tento vztah s naším modelem? Souhlasí hodnota λ určená z rovnice proložení v grafu s hodnotou zjištěnou v otázce 2)?
5. Lze dokázat, že radioaktivní konstanta a poločas rozpadu spolu souvisí vztahem \(\lambda=\ln(2)/T\). Je splněn číselně i v našem modelu?
6. Vysvětlete, proč u skutečných radioaktivních jader nelze jejich počet ve vzorku zjistit přímo – tak, že bychom je prostě spočítali. Jak se ve skutečnosti tento počet určuje?