Jak zapisujeme velká a malá čísla?

V předchozích odstavcích jsme viděli, že rozsah velikostí ve vesmíru je obrovský – od atomového jádra (0,000 000 000 000 001 m) po mezigalaktické vzdálenosti (1 000 000 000 000 000 000 000 m). K zápisu takových čísel potřebujeme lepší způsob než hromadu nul. Jednou z možností je použít vědecký zápis čísla pomocí mocnin deseti. Zápis vypadá takto:

Vědecký zápis čísla: a ⋅ 10n. Například:

150 ⋅ 106 km = 150 ⋅ 1 000 000 km = 150 000 000 km

12 ⋅ 10−5 m = 12 ⋅ 0,000 01 m = 0,000 12 m

Číslo n (říká se mu exponent) může být z množiny celých čísel, tedy 1, 2, 3, … pro zápis velkých čísel (101 = 10; 102 = 100; 103 = 100; …) a −1, −2, −3, … pro zápis malých čísel (10−1 = 0,1; 10−2 = 0,01; 10−3 = 0,001; …).

Zvyšováním exponentu můžeme posouvat desetinnou čárku doleva a naopak:

150 ⋅ 106 km = 15 ⋅ 107 km = 1,5 ⋅ 108 km nebo 12 ⋅ 10−5 m = 1,2 ⋅ 10−4 m

Pomocí vědeckého zápisu můžeme rovněž převádět jednotky, například:

150 ⋅ 106 km = 150 ⋅ 109 m nebo 1,2 ⋅ 10−4 m = 0,12 ⋅ 10−3 m = 0,12 mm.

Použití předpon je druhou možností zápisu velkých a malých čísel. Nejčastěji se ve fyzice používají následující předpony:

Název Hodnota Symbol
kilo 103 1 000 k
mega 106 1 000 000 M
giga 109 1 000 000 000 G
tera 1012 1 000 000 000 000 T
Název Hodnota Symbol
mili 10-3 0,001 m
mikro 10-6 0,000 001 μ
nano 10-9 0,000 000 001 n
piko 10-12 0,000 000 000 001 p

Pro hodnoty mezi tisícinou a tisícem ještě známe tyto předpony:

Název Hodnota Symbol
hekto 102 h
deka 101 da
deci 10−1 d
centi 10−2 c
Příklad 1

Zapište následující čísla pomocí vědeckého zápisu a poté s využitím vhodné předpony:

  1. 1 světelný rok = 9 460 000 000 000 km =
  2. řádová velikost atomu = 0,000 000 000 1 m =
Řešení:
  1. 9 460 000 000 000 km = 9,46 ⋅ 1012 km = 9,46 ⋅ 1015 m = 9 460 Tm
  2. 0,000 000 000 1 m = 10–10 m = 0,1 nm

Proč vlastně vědecký zápis používat? Má to několik výhod. Nemusíme psát mnoho nul. Můžeme snadněji porovnávat různé velikosti – podíváme se pouze na mocninu deseti a máme jasno. Kromě toho se s těmito čísly dá dobře počítat. Vše si ukážeme v úlohách.

Příklad 2
Vezměme v úvahu řádový rozměr atomu, který je asi 0,1 nm, a velikost bakterie řádově 10 µm. Kolikrát je bakterie větší než atom?
Řešení:

Vyjádříme-li oba rozměry v mocninách deseti, dostaneme:

  • Velikost atomu: 0,1 nm = 1,0 ⋅ 10−10 m.
  • Velikost buňky: 10 µm = 1,0 ⋅ 10−5 m.

Exponent deseti se liší o 5, proto řekneme, že buňka je o 5 řádů větší než atom, což znamená 105× větší neboli 100 000× větší.

Příklad 3

Podle gravitačního zákona se každá dvě hmotná tělesa navzájem přitahují silou, jejíž velikost můžeme vyjádřit vztahem \[ F_\mathrm{g} = G\,\frac{m_1 m_2}{r^2} \] Tělesa mají hmotnosti m1 a m2, jsou od sebe vzdálená r a konstanta přímé úměrnosti je tzv. gravitační konstanta \(G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\ m^2\ kg^{-2}}\).

  1. Určete řádově (přibližně, bez použití kalkulačky) velikost síly, kterou se přitahují dva lidé o hmotnosti 70 kg ve vzdálenosti 2 m.
  2. Určete velikost síly přesně s pomocí kalkulačky (použijte tlačítko EXP nebo ×10n)
Řešení:
  1. \[F_\mathrm{g} = G\frac{m_1m_2}{r^2} = 7\cdot10^{-11}\cdot70\cdot70/2^2\ \mathrm{N} \approx 10^{-7}\ \mathrm{N}\]
  2. \[F_\mathrm{g} = G\frac{m_1m_2}{r^2} = 8\cdot10^{-8}\ \mathrm{N}\]

Jak správně převádět jednotky?

Základní pravidla pro převody jednotek jistě znáte. Připomeneme zde ty nejdůležitější s využitím vědeckého zápisu tam, kde je to vhodné.

1 540 200
0,009 3
6,02 ⋅ 1023
Velká čísla zapisujeme s mezerami po třech řádech od konce čísla. Malá čísla zapisujeme s mezerami po třech řádech od des. čárky. Pro velmi malá a velmi velká čísla používáme vědecký zápis.
2,4 mm = 2,4 ⋅ 0,001 m = 0,002 4 m
2,4 mm = 0,002 4 m
Při převodu vyjádříme původní jednotku pomocí požadované a poté provedeme násobení. Případně rovnou posuneme desetinnou čárku.
5,6·105 m = 5,6·105 ·10-3 km = 5,6 ⋅ 102 km
5,6 ⋅ 105 m = 5,6 ⋅ 102 km
Při převodu vyjádříme původní jednotku pomocí požadované a poté provedeme násobení. Případně rovnou změníme exponent.
3 m2 = 3 ⋅ (100 cm)2 = 3 ⋅ 10 000 cm2 = 30 000 cm2
3 m2 = 30 000 cm2
Při převodu čtverečních a krychlových jednotek vyjádříme původní jednotku pomocí požadované a poté umocníme a vynásobíme. Případně rovnou posuneme desetinnou čárku.
9,4 km3 = 9,4 ⋅ (103 m)3 = 9,4 ⋅ 109 m3
9,4 km3 = 9,4 ⋅ 109 m3
Při převodu čtverečních a krychlových jednotek vyjádříme původní jednotku pomocí požadované a poté umocníme. Případně rovnou změníme exponent.
4,200 m = 420,0 cm Je-li to potřeba, zachováme při převodu počet platných míst.

Co je to logaritmické měřítko?

Vzhledem k tomu, že tělesa a vzdálenosti kolem nás jsou co do velikosti velmi různé, není jednoduché tyto velikosti znázornit na číselné ose. Musíme si pomoci zvláštním měřítkem, kterému se říká logaritmické (název pochází od matematické funkce logaritmus, jejíž přesná definice ale pro tuto chvíli není potřeba). Logaritmické měřítko je určeno tak, že jeden dílek na číselné ose představuje desetinásobný skok. Jestliže se tedy díváte na dílek označený 1, sousední vpravo bude již 101, další 102 a tak dále. Směrem doleva budou dílky označeny 10−1, 10−2 atd.

Co dílek na ose, to 10× větší nebo menší rozměr. Dílky jednoduše odpovídají mocninám deseti. Na několika centimetrech pak můžeme znázornit velikosti objektů z celého viditelného vesmíru.

Příklad 4
Znázorněte pomocí logaritmické osy řádové velikosti těchto objektů:
jádro atomu 10-15 m
atom 0,1 nm
virus 100 nm
tloušťka vlasu 0,1 mm
člověk 1 m
Země 10 000 km
Galaxie 1018 km
Řešení:

Do tabulky jsme doplnili i některé další objekty.

1.21 Rozměry objektů na logaritmické ose
Zdroj

Rozměry nám dostupného světa tedy dosahují rozměrů zhruba od 10−15 m (velikost jádra atomu) až po 1026 m (13 miliard světelných let k nejvzdálenějším galaxiím). Zabírají tedy celkem 41 řádů! Na tomto obrovském rozpětí délek jsou však značné „mezery“. Například mezi 10−15 m (rozměr atomového jádra) a 10−10 m (rozměr celého atomu) není nic než elektrony. Nebo například Slunce je od Země vzdáleno přibližně 1011 m a další nejbližší hvězda (Proxima Centauri) je vzdálená 1016 m. Mezi těmito hvězdami pak najdeme pouze prázdný prostor. Struktura vesmíru je tedy značně děravá, stejně jako struktury hmoty na nejjemnějším měřítku.