Modelování trajektorií

Úkol: Vytvořte modely trajektorií pomocí programu Geogebra. Také prozkoumejte některé zajímavé křivky.

Vybavení: počítač

Trajektorie pohybu molekuly vzduchu v místnosti nebo člověka pohybujícího se po obchodním centru jsou složité a těžko matematicky popsatelné. Občas se však také setkáváme s pohyby, jejichž trajektoriemi jsou poměrně jednoduché křivky. Planeta obíhá kolem Slunce po elipse, vržený kámen letí přibližně po parabole, elektricky nabité částice se mohou v  magnetickém poli pohybovat po šroubovicích. My zde nebudeme určovat tvary trajektorií v jednotlivých případech, ale naučíme se zobrazovat již známé trajektorie v programu Geogebra.

Použijeme k tomu dvě metody:

• souřadnice bodu jako funkce času,
• trajektorie jako křivka.

Obě jsou založené na tom, že souřadnice bodu budou záviset na parametru \(t\), který reprezentuje čas.

Postup:

1. Seznamte se s návody konstrukce trajektorií v Geogebře (viz níže) a vyzkoušejte si, že dokážete znázornit jednoduchou trajektorii oběma způsoby.
2. Ve vzorovém příkladu jsme zvolili trajektorii bodu \((x,y)=(3,t)\). Jelikož v Geogebře nejsou jednotky, budeme pracovat v metrech a sekundách. To znamená, že pro náš bod platí: \(x=3\ \mathrm{m}\), \(y=1\ \mathrm{m/s}\cdot t\), kdy čas \(t\) je v rozmezí 0 s až 5 s. To představuje pohyb bodu po úsečce ve směru osy \(y\) rychlostí \(v=1\ \mathrm{m/s}\). Vyzkoušejte si nyní měnit rychlost a směr pohybu bodu a také jeho počáteční polohu. Nezapomeňte, že rychlost má v obecném případě dvě složky.
3. Vyřešte pomocí grafů pohybu klasickou úlohu o pohybu: Vítek vyráží na koloběžce po rovné cestě od chalupy k rybníku rychlostí 2 m/s. Ve stejnou dobu mu vyráží naproti Tereza na kole rychlostí 5 m/s. Vzdálenost chalupy a rybníka je 2 400 m. Kde se obě děti potkají?
4. Vyřešte pomocí modelování trajektorií 2D úlohu o pohybu: Vítek vyplul z přístavu v poloze \((0\ \mathrm{m};0\ \mathrm{m})\) rychlostí \(v=(4\ \mathrm{m/s};3\ \mathrm{m/s})\) a pokračuje stále dál na volné moře. Z pláže v poloze \((3\,000\ \mathrm{m};0\ \mathrm{m})\) za ním vyráží ve stejném okamžiku Tereza. Maximální velikost rychlosti člunu je 5 m/s. Jakou rychlostí musí Tereza plout, aby se s Vítkem setkala? Kdy a kde pak dojde k setkání? Uspořádejte malou soutěž, kdo se k Vítkovi dostane nejdřív!
5. Nyní se můžeme pustit do modelování křivočarých trajektorií. Jelikož křivek je obrovské množství, vybrali jsme kružnici a jí příbuzné křivky. Prozkoumejte vliv různých parametrů na tvar křivek.

Otázky:

1. Jak změníte rychlost a směr pohybu po kružnici?
2. Jak změníte polohu kružnice v soustavě souřadnic?
3. Jak nakreslíte jen vybranou část kružnice?

Návody konstrukce trajektorií v Geogebře

Souřadnice bodu jako funkce času:

1. Vytvořte posuvník s proměnnou t, která bude reprezentovat čas, zvolte rozsah od 0 do 5.
2. Vytvořte kdekoliv nový bod.
3. Do okének pro souřadnice bodu zapište (3, t). Poté pohybujte posuvníkem a sledujte pohyb bodu. Pokud chcete zobrazit trajektorii bodu, zvolte v jeho nastavení možnost „zobrazit stopu“. Váš bod by se měl pohybovat ve směru osy y, zatímco x-ová souřadnice bude stále rovna 3 (viz obrázek).
4. To je celé. Teď stačí zapisovat do závorek k souřadnicím bodu správné výrazy a můžete začít s modelováním (viz úkoly). Pokud byste chtěli, aby se bod pohyboval sám a plynule, můžete na posuvníku zvolit možnost „animace“.

Trajektorie jako křivka:

1. Přidejte nový objekt – křivku – pomocí následujícího schématu:

   1. Krivka(Výraz, Výraz, Parametr proměnné, Poč. hodnota, Koncová hodnota)
   2. Na místo prvního výrazu zapište 3 (souřadnice x),
   3. na místo druhého výrazu napište t (souřadnice y),
   4. na místo parametru proměnné napište t (volba názvu parametru),
   5. jako počáteční hodnotu napište 0 (parametr t začne od nuly),
   6. jako koncovou hodnotu napište 5 (parametr t skončí hodnotou 5).

2. Měla by se vám vykreslit křivka, které se shoduje s trajektorií vytvořenou pohybem posuvníku.

3. To je celé. Teď stačí zapisovat do závorky ke křivce správné výrazy a můžete začít s modelováním (viz úkoly níže). V tomto případě nám Geogebra vykreslí celou trajektorii naráz jako křivku, nemůžeme tedy simulovat, jak se bod pohybuje. Zato však křivku máme narýsovanou přesněji než pomocí stopy.

Vybrané křivky

Poznámka: Do funkcí sinus a cosinus dosazujeme pouze číselnou hodnotu času.

Poznámky pro učitele

Řešení úlohy v bodu 2:

K setkání dojde za 343 s ve vzdálenosti 686 m od chalupy.

Řešení úlohy v bodu 3: Toto je řešení, kdy se lodě setkají v nejkratším možném čase 375 s. Tereza musí mít rychlost (–4 m/s, 3 m/s).