Umělé reakce

V reaktoru jaderné elektrárny se používá jako palivo obohacený uran obsahující 3 % štěpitelného izotopu 235 a 97 % izotopu 238, který se neštěpí.

1. Po zachycení pomalého neutronu se jádro uranu 235 rozštěpilo následujícím způsobem:

   \[{}^{235}_{\hphantom{0}92}\mathrm{U} + {}^1_0\mathrm{n} \stackrel{\mathrm{stepeni}}{\longrightarrow} {}^{90}_{36}\mathrm{Kr} + {}^{142}_{\hphantom{00}a}\mathrm{Ba} + b\,{}^1_0\mathrm{n} \]
   1. Které fyzikální veličiny se během této reakce zachovávají?
   2. Určete a a b.
   3. Vede štěpení jader uranu v reaktoru vždy ke vzniku kryptonu a barya?

2. Při štěpné reakci se uvolňuje energie.

   1. Odkud se bere tato uvolněná energie?
   2. Vypočítejte uvolněnou energii při reakci v otázce 1). Výsledek vyjádřete v MeV.
   3. Kolik energie v joulech by se tímto štěpením uvolnilo z jednoho molu jader uranu 235?

3. Předpokládejme, že při rozštěpení jednoho jádra uranu 235 se uvolní v průměru energie 180 MeV. Třicet procent této energie se následně přemění na energii elektrickou.

   1. Elektrárna má elektrický výkon 2 040 MW. Kolik štěpných reakcí proběhne za sekundu?
   2. Vypočítejte, kolik kilogramů uranu 235 je v této elektrárně spotřebováno za jeden den.

4. Jádro uranu 238 se zachycením některého z uvolněných neutronů stává radioaktivním. Poločas jeho přeměny je 23,45 min. Za jak dlouho se rozpadne 95 % takto aktivovaných jader uranu?

Zadané hodnoty:

• hmotnost jádra uranu 235 \(m_\mathrm{U}=234{,}9935\ \mathrm{u}\)
• hmotnost jádra kryptonu 90 \(m_\mathrm{Kr}=89{,}8998\ \mathrm{u}\)
• hmotnost jádra barya 142 \(m_\mathrm{Ba}=141{,}8857\ \mathrm{u}\)
• hmotnost neutronu \(m_\mathrm{n}=1{,}00866\ \mathrm{u}\)
• atomová hmotnostní konstanta \(1\ \mathrm{u} = 1{,}660539\cdot10^{-27}\ \mathrm{kg}\)
• Avogadrova konstanta \(N_\mathrm{A}=6{,}022\cdot10^{23}\ \mathrm{mol}^{-1}\)
• elementární náboj \(e=1{,}602\cdot10^{-19}\ \mathrm{C}\)

Termojaderná syntéza – problémová úloha

Proton-protonový cyklus je jeden ze způsobů, jak ve hvězdách vzniká z vodíku helium. V tomto cvičení zjistíme, kolik energie se při tom uvolňuje, a výsledek srovnáme s prakticky využívanými zdroji energie.

1. Popis jednotlivých reakcí

   1. Podle obrázku 27.38 napište rovnice termojaderných reakcí, které při syntéze helia probíhají. U každé částice uveďte protonové a nukleonové číslo.

      \[\begin{aligned} {}^1_1\mathrm{H} + \dots &\to \dots + \dots + \dots\\ {}^2_1\mathrm{H} + \dots &\to \dots\\ {}^3_2\mathrm{He} + \dots &\to \dots + \dots\\ \end{aligned}\]

   2. Vypočítejte v MeV energii uvolněnou při každé z reakcí.

2. Bilance za celý cyklus

   1. Napište souhrnnou rovnici pro celý cyklus

      \[ 4\,{}^1_1\mathrm{H} \to \dots + 2\dots + 2\dots \]

   2. Vypočítejte energii uvolněnou při anihilaci pozitronů.

   3. Vypočítejte celkovou energii uvolněnou během jednoho cyklu.

3. Porovnání s uhlím

   1. Určete počet atomů v 1 kg vodíku.
   2. Vypočítejte energii, která se uvolní při přeměně 1 kg vodíku na helium.
   3. Kolikrát víc energie získáme při fúzi 1 kg vodíku oproti energii získané spálením 1 kg černého uhlí? Spalné teplo uhlí je 31,4 MJ/kg.
   4. Kdyby měl fúzní reaktor účinnost jen 10 % a dokázal přeměňovat vodík na helium podle výše popsaných reakcí, kolik palivového vodíku bychom potřebovali k zajištění roční spotřeby elektřiny v ČR (75 TWh)?

Zadané hodnoty:

• hmotnost protonu \(m_\mathrm{p}=1{,}007276\ \mathrm{u}\)
• hmotnost pozitronu a elektronu \(m_\mathrm{e}=5{,}486\cdot10^{-4}\ \mathrm{u}\)
• hmotnost jádra deuteria \({}^2_1\mathrm{H}\) \(m_2=2{,}01355\ \mathrm{u}\)
• hmotnost jádra helia \({}^3_2\mathrm{He}\) \(m_3=3{,}01493\ \mathrm{u}\)
• hmotnost jádra helia \({}^4_2\mathrm{He}\) \(m_4=4{,}00150\ \mathrm{u}\)
• hmotnost neutrina \(m_5=0\)
• atomová hmotnostní konstanta \(1\ \mathrm{u}=1{,}660539\cdot10^{-27}\ \mathrm{kg}\)
• Avogadrova konstanta \(N_\mathrm{A}=6{,}022\cdot10^{23}\ \mathrm{mol}^{-1}\)
• elementární náboj \(e=1{,}602\cdot10^{-19}\ \mathrm{C}\)