Jak definujeme průměrnou rychlost?

K popisu pohybu hmotného bodu nám nestačí měřit jeho polohu nebo uraženou dráhu. Potřebujeme ještě zjistit, jak dlouho pohyb trval. Kombinací dráhy a času dostáváme rychlost pohybu. Nejprve si připomeňme průměrnou rychlost vp:

\(\displaystyle v_\mathrm{p} = \frac{s}{t}\)

Průměrná rychlost je podíl uražené dráhy s a doby pohybu t.

Jednotkou rychlosti v soustavě SI je m ⋅ s−1. Kromě toho často používáme také km/h. Platí 1 m ⋅ s−1 = 3,6 km ⋅ h−1, neboť: \(\displaystyle 1\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}\) \(\displaystyle = \frac{1/1000\ \mathrm{km}}{1/3600\ \mathrm{h}}\) \(\displaystyle = \frac{3600}{1000}\ \mathrm{km}\cdot\mathrm{h}^{-1}\) \(\displaystyle = 3{,}6\ \mathrm{km}\cdot\mathrm{h}^{-1}\)

* Jedná se o nejvyšší možnou rychlost ve vesmíru, žádné hmotné těleso nemůže této rychlosti dosáhnout.
Příklady rychlostí
pohyb africké desky směrem k Evropě cca 5 cm/rok
klidná chůze 4 km/h
vytrvalostní běh (rekreační) 10 km/h
sprint 100 m 36 km/h
gepard ve sprintu 90 km/h
rychlost větru v hurikánu (stupeň 5) 250 km/h
dopravní letadlo (max. rychlost) 900 km/h
rychlost zvuku ve vzduchu 1200 km/h
sonda Voyager II 60 000 km/h
oběh Země kolem Slunce 100 000 km/h
rychlost světla ve vakuu* 1 080 000 000 km/h

V praxi se občas potkáte i s jinými jednotkami rychlosti:

mph = 0,44704 m/s – mile per hour (míle za hodinu), používá se v USA

uzel = 0,51444 m/s – anglicky knot = námořní míle za hodinu, používá se v letectví a mořeplavbě

Kontrolní otázka

Určete průměrné rychlosti v m/s:

1) Petr jel na kole 0,5 hodiny a urazil 18 km.
2) Jana uběhla kilometr za 8 minut 24 sekund.
    Kontrolní otázka
    1) Za jak dlouho uběhne Tomáš 6 km, běží-li celou dobu rychlostí 8 km/h? Napište výsledek v hodinách.
    2) Za jak dlouho urazí auto, jedoucí po dálnici rychlostí 90 km/h, vzdálenost 25 m? Napište výsledek v sekundách.
      Kontrolní otázka
      1) Jakou vzdálenost urazí turista za 2,5 hodiny, jde-li rychlostí 5 km/h? Napište výsledek v km.
      2) Jakou vzdálenost urazí světlo ve vakuu za 0,1 sekundy? Napište výsledek v km.

        V následujících úlohách si ukážeme, že průměrná rychlost není průměr rychlostí. Je to vždy celková dráha za celkový čas.

        Příklad 1
        Cyklista jede 10 km rychlostí 10 km/h a poté dalších 10 km rychlostí 30 km/h. Jaká je jeho průměrná rychlost na celém úseku?
        Řešení:
        1. První část: s1 = 10 km, v1 = 10 km/h.
        2. Druhá část: s2 = 10 km, v2 = 30 km/h.
        Průměrná rychlost je celková dráha za celkový čas. Celková dráha je \(s = s_1 + s_2 = 20\ \mathrm{km}\). Celkový čas t spočítáme jako součet časů t1 a t2: \[t_1 = s_1/v_1\]
        Příklad 2
        Cyklista jede 10 km z A do B rychlostí 10 km/h. Jakou rychlostí musí jet stejnou cestou zpět, aby dosáhl průměrné rychlost 20 km/h?
        Řešení:
        Označme vzdálenost z A do B jako s = 10 km. Průměrná rychlost je celková dráha za celkový čas: \[v = \frac{2s}{t}\] Odtud celkový čas \(t = 2s/v = 1\ \mathrm{h}\). Podívejme se teď na cestu tam: doba jízdy je \(t_1 = s/v_1 = 1\ \mathrm{h}\). To ovšem znamená, že ať pojede jakoukoliv rychlostí, tak celkové průměrné rychlosti 20 km/h už nedosáhne.

        Při určování rychlosti musíme mít na paměti, že rychlost je relativní veličina – vždy záleží na volbě vztažné soustavy. Například čtenář tohoto odstavce je právě v klidu vzhledem k zemskému povrchu (nečte-li třeba ve vlaku). Přitom vůči Slunci se pohybuje rychlostí kolem 30 000 m/s.

        Jak definujeme okamžitou rychlost?

        Průměrná rychlost charakterizuje pohyb jako celek na určitém úseku, ale neříká vůbec nic o jednotlivých fázích pohybu. Představme si to na příkladu jízdy autem z Brna do Prahy. Délka trasy po dálnici je 210 km, doba jízdy byla 2 hodiny. Průměrná rychlost tedy vychází 105 km/h, ale o průběhu cesty nevíme nic bližšího. Přesto se řidič v libovolném okamžiku své cesty mohl podívat na tachometr a zjistit, jakou rychlostí jede „právě teď” neboli určit svoji okamžitou rychlost.

        Chtěli bychom definovat veličinu, která bude charakterizovat pohyb tělesa v určitém okamžiku, a to včetně směru jeho pohybu. Jak to můžeme udělat? Může nám k tomu pomoci záznam polohy v závislosti na čase. Podívejme se detailně na rozjezd autíčka v grafu x(t):

        3.17 – Okamžitou rychlost určíme pomocí podílu Δx a Δt. Tento podíl určuje sklon křivky v daném místě grafu. Za stejné časové intervaly urazilo autíčko různé vzdálenosti, a mělo tedy i různou rychlost. Vidíme, že křivka zvětšuje svůj sklon.
        Zdroj
        3.18 – Naše definice okamžité rychlosti je v souladu s definicí průměrné rychlosti v = s/t. V případě okamžité rychlosti ale musíme celkový čas t nahradit co nejkratším časovým intervalem Δt v daném místě.
        Zdroj

        Okamžitou rychlost určíme pomocí dvou blízkých bodů ve zvoleném místě grafu (Δt je nejmenší možné).

        Okamžitá rychlost (na ose x) \(\displaystyle v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t}\) = rozdíl poloh / rozdíl časů.

        Symbol Δ (delta) se ve fyzice používá pro rozdíl hodnot dané veličiny (\(\Delta x=x_2-x_1\)). Okamžitá rychlost, na rozdíl od průměrné rychlosti, nese i informaci o směru pohybu. Jelikož se pohybujeme jen na jedné ose, má směr pohybu pouze dvě možnosti, které rozlišíme pomocí znaménka (viz obrázek). Indexem x u rychlosti dáváme najevo, že jde o rychlost ve směru osy x. Pokud nehrozí záměna s jinými souřadnicemi (celá tato kapitola), můžeme malé x klidně vynechávat. Definici rychlosti v prostoru najdete v kapitole 14.

        3.19 – Je-li Δx kladné, je kladná také rychlost – těleso se pohybuje ve směru osy x. (b) Je-li Δx = 0, je nulová také rychlost – těleso stojí. (c) Je-li Δx záporné, je záporná také rychlost – těleso se pohybuje proti směru zvolené osy x.
        Zdroj

        Pozorný čtenář by správně namítnul, že název „okamžitá“ v naší definici rychlosti není zcela na místě, neboť definice se vztahuje k určitému časovému intervalu. Prakticky vzato můžeme zvýšením frekvence snímání sonaru časový interval Δt zkrátit. Nikdy ale nebudeme schopni změřit rychlost v jediném okamžiku. Matematici si s tímto problémem umějí poradit pomocí na první pohled velmi podivného pojmu – nekonečně malého časového intervalu dt. Tento pojem stál u zrodu celého nového oboru matematiky na konci 17. století – infinitezimálního počtu. Pro fyziku je podstatné, že něco jako okamžitá rychlost existuje – autíčko se nepohybuje „skoky“ v prostoru, ale spojitě. Uvedená definice se pojmu okamžité rychlosti může přiblížit s libovolnou přesností.

        Kontrolní otázka
        Kamerový systém vyfotografoval auto na začátku a na konci tunelu, časový rozdíl byl 32 s. Délka tunelu je 800 m. Vyberte všechna pravdivá tvrzení o pohybu auta, která z toho vyplývají.


        Jak definujeme zrychlení?

        Okamžitá rychlost se během pohybu může měnit. Dobře je to vidět na padajícím tělese. Asi nikoho nepřekvapí, že při svém pádu zrychluje. Můžeme to ostatně změřit pomocí sonaru a míče (viz obrázek). Podívejte se na časové závislosti polohy a rychlosti míče během pádu.

        3.20 – Pomocí sonaru měříme rychlost míče při volném pádu.
        Zdroj
        3.21 – Graf rychlosti míče v závislosti na čase.
        Zdroj

        Zrychlení definujeme podobně jako okamžitou rychlost, sledujeme změnu rychlosti \(\Delta v=v_2-v_1\) v časovém intervalu \(\Delta t=t_2-t_1\). V našem grafu vidíme, že rychlost rostla docela rovnoměrně – asi o 1 m/s za každou desetinu sekundy. To znamená asi o 10 m/s za jednu sekundu.

        Zrychlení (na ose x) \(\displaystyle a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t}\) = rozdíl rychlostí / rozdíl časů.

        Základní jednotkou je m/s/s = m/s2 = m ⋅ s−2 (čteme „metr za sekundu na druhou“ nebo „metr sekunda na mínus druhou“).

        3.22 – Je-li Δv kladné, je kladné také zrychlení - rychlost roste. Je-li Δv = 0, je nulové také zrychlení - rychlost se nemění. Je-li Δv záporné, je záporné také zrychlení - rychlost klesá.
        Zdroj

        Podobně jako u rychlosti můžeme i u zrychlení přímočarých pohybů index x v této kapitole vynechávat. Analogický je i vztah mezi průměrným a okamžitým zrychlením: v případě okamžitého zrychlení musí být Δt co nejmenší, u průměrného zrychlení označuje Δt celkovou dobu zrychlování.

        Příklad 3
        Zrychlení míčku je stálé: 10 m/s2 směrem dolů.
        1. Jaká bude jeho rychlost po uplynutí 0,2 s, pokud bude volně puštěn dolů?
        2. Jaká bude jeho rychlost po uplynutí 0,2 s, pokud bude vržen dolů rychlostí 5 m/s?
        3. Jaká bude jeho rychlost po uplynutí 0,2 s, pokud bude vržen vzhůru rychlostí 5 m/s?
        Řešení:

        Z definice zrychlení a = Δvt vyplývá, že Δv = a ⋅ Δt. Změnu rychlosti tedy určíme ze zrychlení a času. Konkrétně tedy pro míček Δv = a ⋅ Δt = 2 m/s.

        1. Volně puštěný míček má počáteční rychlost nulovou, proto výsledná rychlost bude v = 2 m/s.
        2. Počáteční rychlost míčku směřuje dolů, stejně jako zrychlení. Proto výsledná rychlost bude v = 5 m/s + 2 m/s = 7 m/s
        3. Počáteční rychlost míčku směřuje vzhůru, tedy opačně než zrychlení. Proto výsledná rychlost bude v = −5 m/s + 2 m/s = −3 m/s. Záporné znaménko nám říká, že směr rychlosti bude vzhůru, neboť osu x jsme zvolili směrem dolů (sami se můžete přesvědčit dosazením většího času za Δt, že míček by se po nějaké době otočil dolů a rychlost by změnila znaménko na kladné).
        Příklad 4

        U automobilů je zvykem udávat dobu t, za kterou zrychlí z 0 na 100 km/h. Určete průměrné zrychlení aut v základních jednotkách pro tyto případy:

        1. Škoda Octavia 1,5 TSI: t = 8,7 s.
        2. Tesla model S: t = 2,6 s.
        Řešení:

        Stačí dosadit do definice zrychlení a = Δvt. Musíme ale použít správné jednotky: Δv = 100 km/h = 28 m/s. Proto:

        1. a = 3,2 m/s2.
        2. a = 10,8 m/s2.
        Příklad 5
        Vlak jede rychlostí 90 km/h. Jaké musí být zrychlení vlaku, aby během 10 s zpomalil na 72 km/h?
        Řešení:

        Nejdřív určíme Δv = 72 km/h − 90 km/h = −18 km/h = −5 m/s. Záporné znaménko je v pořádku, říká nám, že vlak zpomaluje. Potřebné zrychlení je a = Δvt = −1,5 m/s.

        Poznámka na okraj: Znaménka rychlosti a zrychlení

        Je přirozené si zvolit orientaci osy x ve směru pohybu. Potom okamžitá rychlost vx je kladná a zrychlení ax je kladné, když těleso zrychluje, a záporné, když zpomaluje. Záporné zrychlení tedy znamená zpomalování. Pokud ovšem těleso začne couvat čili pohybovat se proti směru osy x, je vx záporné, a pokud se navíc tato rychlost v záporném směru zvětšuje, musí být při takovém zrychlování ax záporné. Přehledně to ilustruje následující pohyb výtahu.

        3.23 – Mezi 2. a 10. sekundou jede výtah nahoru. Jeho zrychlení je nejdřív kladné (zrychluje), pak nulové a poté záporné (zpomaluje). Mezi 13. a 21. sekundou jede výtah dolů (rychlost je záporná). Jeho zrychlení je nejdřív záporné (zrychluje), pak nulové a potom kladné (zpomaluje).
        Zdroj

        Jak z grafu pro rychlost určíme změnu polohy?

        Graf v(t) má ještě jednu užitečnou vlastnost. Můžeme pomocí něj počítat změnu polohy tělesa nebo také uraženou dráhu.

        Celková změna polohy Δx je rovna obsahu plochy pod křivkou v grafu v(t).

        3.25a – Z definice rychlosti v = Δxt můžeme vyjádřit Δx = vt. Tento součin představuje plochu obdélníku o stranách v a Δt. Jestliže se rychlost během pohybu nemění, můžeme celkovou změnu polohy určit jednoduše pomocí zmíněného obdélníku.
        Zdroj
        Poznámka na okraj: Odvození vztahu pro celkovou změnu poloh z grafu

        K odvození nám pomůže další obrázek:

        3.25b – Pokud se rychlost mění, můžeme celkové Δx určit velmi přibližně jako součet více obdélníků s různou výškou.
        Zdroj
        3.25c – Pokud tyto obdélníky zvolíme opravdu velmi tenké, bude se jejich součet již velmi blížit správnému obsahu plochy pod křivkou.
        Zdroj

        Prakticky si vše vyzkoušíme ve dvou úlohách:

        Příklad 6

        Majitel elektromobilu si dal záležet, aby jeho rozjezd probíhal plynule. Díky tomu můžete z grafu jeho rychlosti snadno určit, jakou vzdálenost ujel během prvních tří sekund od startu.

        3.27 – Rychlost elektromobilu při rozjezdu.
        Zdroj
        Řešení:

        Uraženou dráhu určíme jako obsah plochy pod křivkou. V tomto případě jde o obsah pravoúhlého trojúhelníku: s = S = 1/2 ⋅ 20 m/s ⋅ 3 s = 30 m.

        Příklad 7

        Hráč baseballu vyhodil míč svisle vzhůru a poté jej zase chytil. Graf ukazuje okamžitou rychlost míče v závislosti na čase (osa x směřovala vzhůru). Z grafu určete:

        1. jak vysoko míč vyletěl,
        2. jakou urazil celkovou dráhu.
        3.28 – Rychlost vzhůru vyhozeného míče.
        Zdroj
        Řešení:

        V této úloze se objevuje záporná rychlost. Už víme, že to znamená pohyb proti směru zvolené osy x. Vidíme, že míč 1,5 s letěl vzhůru a zpomaloval, pak se otočil a 1,5 s letěl zase dolů a zrychloval. Výšku výstupu míče proto spočítáme jako obsah pravoúhlého trojúhelníku: s = S = 1/2 ⋅ 15 m/s ⋅ 1,5 s = 11,25 m. Celková uražená dráha je logicky dvojnásobná, tedy 22,5 m.

        Poznámka: Let směrem dolů je v grafu reprezentován shodným trojúhelníkem jako let vzhůru, pouze pod osou x. Pokud bychom jeho plochu započítali se záporným znaménkem, vyjde nám celková změna polohy Δx = 0, a to je správně – míč se vrátil zpět na původní místo. Pokud jeho plochu započítáme s kladným znaménkem, vyjde nám uražená dráha.

        Jak měříme rychlost a zrychlení?

        Polohu umíme měřit pomocí sonaru či radaru. Jak můžeme měřit rychlost? Použijeme definici okamžité rychlosti v = Δxt a rychlost vypočítáme ze změny polohy Δx (takto funguje například tachometr nebo GPS). Rychlost je možné měřit také například pomocí Dopplerova jevu (policejní radar).

        Také zrychlení můžeme vypočítat pomocí změny rychlosti Δx. Můžeme ho měřit pomocí akcelerometru. Ten funguje na základě měření síly a jeho princip je na obrázku. Při zrychleném pohybu dochází k deformaci nosníku (viz obrázek). Deformace nastává taky působením gravitace. Díky tomu můžeme měřit jak zrychlení, tak gravitační pole (akcelerometr je od sebe nedokáže odlišit). Z toho vyplývá i často používaná jednotka zrychlení g = 9,8 m/s2. Pro měření zrychlení v libovolném směru je potřeba trojosý akcelerometr (viz obrázek). Ten je součástí každého chytrého telefonu jako součástka o rozměrech několika milimetrů. Díky tomu telefon pozná svoji orientaci v gravitačním poli, ale můžete s ním pomocí vhodné aplikace také měřit zrychlení při pohybu.

        3.29 – Na obrázku je zachycen princip akcelerometru. Závaží je umístěno na tenkém nosníku. Při zrychleném pohybu se nosník ohýbá a to je snímáno velmi citlivým měřidlem deformace - tenzometrem. Takto měříme zrychlení na jedné ose. Na dolním obrázku je trojosý akcelerometr jako elektronická součástka.
        Zdroj

        Jako akcelerometr funguje i lidské tělo. Nedokáže vnímat rychlost, kterou se pohybuje, ale dokáže vnímat velikost a směr zrychlení. Jednak pomocí rovnovážného ústrojí, které se nachází v uchu, a jednak pomocí deformace celého těla. Velké zrychlení si užíváme například při jízdě na horské dráze. Pokud je ale zrychlení příliš velké, nastávají problémy. Například při dopravní nehodě dojde k prudkému zpomalení auta, které nám může způsobit vážná zranění. Některé hodnoty zrychlení (v jednotkách g) uvádíme v tabulce.

        rozjezd závodního auta až 2 g
        horská dráha až 4 g
        limit pro leteckou akrobacii 12 g
        dopravní nehoda až 100 g