Simulace soustavy částic

Úkol: Pomocí simulace sledujte vývoj soustavy částic.

Vybavení: program pro vytváření fyzikálních simulací Algodoo (freeware, ke stažení na http://www.algodoo.com), soubor Rozdeleni.phz.

Spusťte program Algodoo a otevřte v něm soubor Rozdeleni.phz. Tento soubor modeluje krabici s přepážkou, kde v jedné části krabice je plyn (40 částic), druhá část je prázdná. Model se spouští tlačítkem „Play“ v dolní části obrazovky, zastavit jej můžete tlačítkem „Pause“. Žlutou závoru uprostřed přepážky odstraníte tak, že na ni kliknete a stisknete klávesu „Delete“.

Stav soustavy ihned po odstranění přepážky má nízkou entropii, plyn může konat práci rozpínáním do levé části krabice. Částice přecházejí do levé části a některé se vracejí zpět do pravé části. Po chvíli se ale rozmístí vcelku rovnoměrně do obou částí krabice – tohle je nejpravděpodobnější stav plynu, stav s největší entropií. Plyn už není schopen konat práci, i když jednotlivé částice energii mají.

Pravděpodobnost konkrétního stavu (tj. rozdělení částic do levé a pravé části krabice) je dána tím, kolika způsoby je možné tento stav vytvořit (tento počet označíme jako \(W\)). Pokud jsou všechny částice v jedné části krabice, je to jenom jedna možnost (ta nejméně pravděpodobná). Jak to můžeme spočítat u jiných stavů?

Představte si stav, kdy vlevo je 10 částic a vpravo 30. Pro vytvoření tohoto stavu musíme rozmístit 40 částic. Předpokládejme, že je dokážeme rozlišit (třeba jsou očíslované). První z částic můžeme umístit na 40 pozic, druhou už jenom na 39 (první pozice už je obsazená), třetí na 38, … Celkově je to \(40\cdot39\cdot38\cdot\dots\cdot3\cdot2\cdot1=40!\) (čtyřicet faktoriál) možností. To by platilo u rozlišitelných částic. Částice v modelu ale nerozlišujeme. Proto musíme výsledek vydělit 10! (všechny možnosti umístění vybraných částic v levé části krabice) a 30! (v pravé části). Dostáváme výsledek \(W=40!/(10!\cdot30!)=847\,660\,528\). Je vidět, že tento stav má nesrovnatelně větší pravděpodobnost vzniku než stav se všemi částicemi na jedné straně.

Poznámka: Výpočet lze provést také pomocí kombinačních čísel.

Obecně platí, že pokud máme v krabici \(N\) částic a v její levé části je \(n\) částic (tj. v pravé části je jich \(N-n\) ), je počet možností, jak tento stav může vzniknout,

\[ W = \frac{N!}{n!\,(N-n)!}\;. \]

S ohledem na to, že vycházejí obrovská čísla, pracuje se s přirozeným logaritmem počtu možností (logaritmováním se z velkých čísel stávají čísla uživatelsky přívětivější).

Postup měření:

1. Spusťte soubor v Algodoo.
2. Odstraňte závoru. Po 5 sekundách stopněte model a spočítejte, kolik částic je v levé a v pravé části krabice.
3. Měření opakujte po 5 s alespoň 20krát.
4. U každého změřeného stavu vypočítejte počet možností tohoto stavu \(W\).
5. Vytvořte graf závislosti \(\ln W\) na čase.

Otázky:

1. Jak se změní výsledný graf, když závoru v přepážce neodstraníte, ale pouze posunete tak, aby vznikl menší otvor než předtím?
2. Jak se bude systém chovat, když se zvýší počet částic v modelu?
3. Odhadněte na základě výpočtu, kolik je v učebně fyziky molekul.
4. Jaká je pravděpodobnost toho, že se vzduch v učebně samovolně natlačí pouze do jedné poloviny místnosti?
5. Jaké musí být mechanické vlastnosti kuliček a krabice v modelu, aby model odpovídal chování plynu?