Simulace soustavy částic

Úkol: Pomocí simulace sledujte vývoj soustavy částic.

Vybavení: program pro vytváření fyzikálních simulací Algodoo (freeware, ke stažení na http://www.algodoo.com), soubor Rozdeleni.phz.

Spusťte program Algodoo a otevřte v něm soubor Rozdeleni.phz. Tento soubor modeluje krabici s přepážkou, kde v jedné části krabice je plyn (40 částic), druhá část je prázdná. Model se spouští tlačítkem „Play“ v dolní části obrazovky, zastavit jej můžete tlačítkem „Pause“. Žlutou závoru uprostřed přepážky odstraníte tak, že na ni kliknete a stisknete klávesu „Delete“.

12.32 – Situace vytvořená v programu Algodoo.
Zdroj

Stav soustavy ihned po odstranění přepážky má nízkou entropii, plyn může konat práci rozpínáním do levé části krabice. Částice přecházejí do levé části a některé se vracejí zpět do pravé části. Po chvíli se ale rozmístí vcelku rovnoměrně do obou částí krabice – tohle je nejpravděpodobnější stav plynu, stav s největší entropií. Plyn už není schopen konat práci, i když jednotlivé částice energii mají.

Pravděpodobnost konkrétního stavu (tj. rozdělení částic do levé a pravé části krabice) je dána tím, kolika způsoby je možné tento stav vytvořit (tento počet označíme jako \(W\)). Pokud jsou všechny částice v jedné části krabice, je to jenom jedna možnost (ta nejméně pravděpodobná). Jak to můžeme spočítat u jiných stavů?

Představte si stav, kdy vlevo je 10 částic a vpravo 30. Pro vytvoření tohoto stavu musíme rozmístit 40 částic. Předpokládejme, že je dokážeme rozlišit (třeba jsou očíslované). První z částic můžeme umístit na 40 pozic, druhou už jenom na 39 (první pozice už je obsazená), třetí na 38, … Celkově je to \(40\cdot39\cdot38\cdot\dots\cdot3\cdot2\cdot1=40!\) (čtyřicet faktoriál) možností. To by platilo u rozlišitelných částic. Částice v modelu ale nerozlišujeme. Proto musíme výsledek vydělit 10! (všechny možnosti umístění vybraných částic v levé části krabice) a 30! (v pravé části). Dostáváme výsledek \(W=40!/(10!\cdot30!)=847\,660\,528\). Je vidět, že tento stav má nesrovnatelně větší pravděpodobnost vzniku než stav se všemi částicemi na jedné straně.

Poznámka: Výpočet lze provést také pomocí kombinačních čísel.

Obecně platí, že pokud máme v krabici \(N\) částic a v její levé části je \(n\) částic (tj. v pravé části je jich \(N-n\) ), je počet možností, jak tento stav může vzniknout,

\[ W = \frac{N!}{n!\,(N-n)!}\;. \]

S ohledem na to, že vycházejí obrovská čísla, pracuje se s přirozeným logaritmem počtu možností (logaritmováním se z velkých čísel stávají čísla uživatelsky přívětivější).

Postup měření:

  1. Spusťte soubor v Algodoo.
  2. Odstraňte závoru. Po 5 sekundách stopněte model a spočítejte, kolik částic je v levé a v pravé části krabice.
  3. Měření opakujte po 5 s alespoň 20krát.
  4. U každého změřeného stavu vypočítejte počet možností tohoto stavu \(W\).
  5. Vytvořte graf závislosti \(\ln W\) na čase.

Otázky:

  1. Jak se změní výsledný graf, když závoru v přepážce neodstraníte, ale pouze posunete tak, aby vznikl menší otvor než předtím?
  2. Jak se bude systém chovat, když se zvýší počet částic v modelu?
  3. Odhadněte na základě výpočtu, kolik je v učebně fyziky molekul.
  4. Jaká je pravděpodobnost toho, že se vzduch v učebně samovolně natlačí pouze do jedné poloviny místnosti?
  5. Jaké musí být mechanické vlastnosti kuliček a krabice v modelu, aby model odpovídal chování plynu?
Poznámky pro učitele

Vzorové měření

\(t\) (s) \(n_1\) \(n_2\) \(W\) \(\ln W\)
0 0 40 1 0,0
5 6 34 3838380 15,2
10 4 36 91390 11,4
15 6 34 3838380 15,2
20 10 30 847660528 20,6
25 13 27 12033222880 23,2
30 16 24 62852101650 24,9
35 15 25 40225345056 24,4
40 16 24 62852101650 24,9
45 13 27 12033222880 23,2
50 16 24 62852101650 24,9
55 20 20 137846528820 25,6
60 20 20 137846528820 25,6
65 21 19 131282408400 25,6
70 21 19 131282408400 25,6
75 23 17 88732378800 25,2
80 21 19 131282408400 25,6
85 21 19 131282408400 25,6
90 21 19 131282408400 25,6
95 23 17 88732378800 25,2
100 19 21 131282408400 25,6
105 18 22 113380261800 25,5
Tlačítko pro návrat zpět nahoru na stránce (back to top)