Kosmické rychlosti
Newtonův gravitační zákon je fyzikální zákon s univerzální platností – platí stejně na Zemi jako ve vesmíru. Souvislost mezi pádem těles u povrchu a obíháním kolem Země Newton ukazoval následující úvahou.
Představme si, že na vysoký kopec na povrchu Země umístíme dělo, kterým budeme střílet vodorovně rychlostí

Zdroj
Pokud bude rychlost
Pohyb po kruhové trajektorii v centrálním poli
K řešení obecného problému pohybu družice po elipse v centrálním gravitačním poli bychom potřebovali pokročilejší matematiku. Rozebereme tedy pouze pohyb po kružnici. Trajektorie všech planet Sluneční soustavy, trajektorii Měsíce i trajektorie mnohých umělých družic Země můžeme s dobrou přesností kruhovým pohybem aproximovat.

Zdroj
Na obrázku 17.34 je znázorněna družice o hmotnosti
Gravitační síla uděluje družici zrychlení
Odvodíme nyní vztah pro rychlost družice. Pro velikosti vektorů máme z 2. Newtonova zákona
Po dosazení síly z gravitačního zákona
a normálového zrychlení
dostáváme
odkud vyjádříme hledanou rychlost
Družice na kruhové trajektorii o daném poloměru má přesně danou konstantní velikost rychlosti.

Mezinárodní vesmírná stanice, známá pod zkratkou ISS, je v současnosti jediná trvale obydlená vesmírná stanice. Mezi její hlavní cíle patří zkoumání dlouhodobého vlivu vesmírného prostředí na biologické funkce člověka: vliv mikrogravitace na svalovou atrofii, na odvápňování kostí, na oběh tělních tekutin, a vliv kosmického záření zejména na lidskou nervovou soustavu.
ISS se nachází na nízké oběžné dráze ve výšce 420 km nad zemským povrchem. Trajektorie je skloněna o 52° vzhledem k rovníku a při přeletech nad Evropou je ISS z ČR pozorovatelná jako výrazný světelný objekt na noční obloze, který se pohybuje nápadně rychleji a jiným směrem než planety a hvězdy.

Zdroj
Určete:
- rychlost pohybu ISS,
- za jak dlouho oběhne ISS Zemi.

Předpokládejme, že se ISS pohybuje po kruhové trajektorii. K výpočtu budeme potřebovat číselnou hodnotu hmotnosti Země
a) Vzdálenost ISS od středu Země je
b) Pohyb družice je rovnoměrný, proto můžeme použít vztah
Doba oběhu je tedy

Zdroj

Odvození třetího Keplerova zákona a vážení ve vesmíru
Pokračujme v naší úvaze o kruhovém pohybu v radiálním poli. Poněvadž je pohyb družice rovnoměrný, platí vztah
Je to tatáž rychlost družice, kterou jsme získali jinak – totiž z gravitačního zákona:
Po umocnění rovnice na druhou a dalších jednoduchých matematických úpravách zjišťujeme, že
tedy že podíl třetí mocniny poloměru trajektorie a druhé mocniny doby oběhu je konstantní a závisí pouze na hmotnosti centrálního tělesa. To je formulace třetího Keplerova zákona pro pohyb po kružnici.
Odvozený vzorec má pro astronomy mimořádný význam – umožňuje totiž vážit nebeská tělesa. Dá se použít pro vážení planet, hvězd, galaxií, černých děr, … Stačí změřit, za jak dlouho a v jaké vzdálenosti obíhá kolem tohoto objektu jiné pozorovatelné těleso. Ukažme si, jak jednoduše se dá zvážit Slunce.

Země obíhá kolem Slunce s periodou 1 rok ve střední vzdálenosti 150 milionů kilometrů. Vypočítejte hmotnost Slunce.

Pohyb Země budeme považovat za kruhový s periodou
vyjádříme hmotnost Slunce


Geostacionární družice jsou umělé družice Země umístěné na speciální oběžnou dráhu tak, aby se nacházely stále nad stejným místem nad povrchem Země. Používají se k telekomunikaci (např. k přenosu satelitního vysílání – Skylink, Astra), k meteorologickým účelům (např. Meteosat), k pozorování Země a vesmíru. Všechny geostacionární družice obíhají nad rovníkem s periodou přesně jeden den. Vypočítejte výšku těchto satelitů nad povrchem a rychlost jejich oběhu. Rovníkový poloměr Země je

Zdroj

Poloměr kruhové trajektorie družice označíme
Doba oběhu
Ze 3. Keplerova zákona
vyjádříme poloměr trajektorie a dosadíme:
Odečtením poloměru Země získáme výšku satelitu nad povrchem:
Všechny geostacionární družice se nacházejí ve výšce přibližně 36 000 km nad povrchem.
Rychlost těchto družic vypočítáme z dříve odvozeného vztahu
Geostacionární satelity se pohybují rychlostí přibližně 3 km/s.
K předpovídání počasí a sledování klimatu se používají jak geostacionární družice, tak satelity obíhající v rovině pólů. Více se dozvíte v následujícím videu: https://www.youtube.com/watch?v=Irxg-9svRtc
