Gravitační pole

Každý člověk si dokáže představit, že tělesa, která se dotýkají, na sebe dokážou působit silami. Jak je to ale s působením na dálku? Copak jedno těleso může prázdným prostorem na dálku ovlivňovat jiná tělesa?

Lidé postupně pochopili, že tělesa svojí přítomností ovlivňují vlastnosti okolního prostoru – vytvářejí kolem sebe pole. Hmotná tělesa (všechna) vytvářejí pole gravitační, elektricky nabitá tělesa vytvářejí pole elektrické. Pokud se do takového pole dostane jiné těleso, bude na ně působit síla. Říkáme, že pole má silové účinky. Obecně vzato je pole jedním z projevů hmoty, odlišné od látky, zprostředkovávající působení mezi tělesy.

Jak vypadá gravitační pole?

Existuje několik způsobů, jak si představit gravitační pole. Nejjednodušší způsob je znázornění pomocí siločar. Siločára je křivka, která v každém místě ukazuje směr gravitační síly. Přesněji řečeno, je to křivka, která je tečnou k vektoru \(\Vec{F}_\mathrm{g}\) – viz obrázek 17.23.

17.23 – Siločáry gravitačního pole

V okolí sféricky symetrických těles, typicky v okolí planet a hvězd, se siločáry paprsčitě sbíhají. Takové pole nazýváme centrální.

Pokud studujeme mechanické pohyby jen v malé oblasti prostoru, například jen v objemu volejbalového hřiště u povrchu Země, můžeme siločáry gravitačního pole považovat za rovnoběžné. V tomto případě hovoříme o homogenním poli.

17.24 – Centrální a homogenní pole

Intenzita gravitačního pole

Pomocí siločar jsme získali představu o tvaru pole, ale ztratili informaci o tom, jak je pole „silné“. Obě vlastnosti – směr i intenzitu působení v určitém místě – lze vyjádřit jedinou vektorovou veličinou. Nazývá se intenzita gravitačního pole a je definována vztahem

\[ \Vec{a}_\mathrm{g} = \frac{\Vec{F}_\mathrm{g}}{m}\;, \]

kde \(\Vec{F}_\mathrm{g}\) je gravitační síla působící na částici o hmotnosti \(m\), která se nachází v gravitačním poli. Vektor \(\Vec{a}_\mathrm{g}\) popisuje gravitační pole: má směr tečny k siločáře a jeho velikost je rovna síle, kterou by gravitační pole působilo na těleso o hmotnosti 1 kg. Vektor \(\Vec{a}_\mathrm{g}\) popisuje současně i pohyb tělesa v gravitačním poli: dělíme-li totiž sílu hmotností, dostáváme zrychlení. Tedy \(\Vec{a}_\mathrm{g}\) má význam gravitačního zrychlení, zrychlení, s jakým padají všechna tělesa v daném místě pole. Jeho jednotkou je m/s2.

17.25 – Znázornění gravitačního pole pomocí vektoru intenzity gravitačního pole \(\Vec{a}_\mathrm{g}\).

V případě centrálního pole vytvořeného tělesem o hmotnosti M z Newtonova gravitačního zákona snadno odvodíme vztah pro velikost gravitačního zrychlení:

\[ a_\mathrm{g} = \frac{F_\mathrm{g}}{m} = \frac{\displaystyle G\frac{mM}{r^2}}{m} = G\frac{M}{r^2}\;. \]

Písmeno \(r\) v předchozím vzorci značí vzdálenost místa, ve kterém pole vyšetřujeme, od těžiště sférického tělesa.

17.26 – Označení veličin ve vztahu pro gravitační zrychlení

Gravitační zrychlení \(\Vec{a}_\mathrm{gZ}\) na povrchu Země spočítáme snadno dosazením za hmotnost \(M=M_\mathrm{Z}=5{,}97\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}\) a poloměr \(r=r_\mathrm{Z}=6{,}37\cdot10^3\ \mathrm{km}\):

\[ a_\mathrm{gZ} = G\frac{M_\mathrm{Z}}{r_\mathrm{z}^2} = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\frac{5{,}97\cdot10^{24}}{(6{,}37\cdot10^6)^2}\ \mathrm{m\cdot s}^{-2} = 9{,}81\ \mathrm{m\cdot s}^{-2}\;. \]

V této hodnotě zajisté poznáváte tíhové zrychlení \(g\). Jaká je přesná souvislost mezi \(a_\mathrm{gZ}\) a \(g\), je vysvětleno v poznámce níže.

Ekvipotenciální plochy

Další způsob, jak znázornit gravitační pole, využívá ekvipotenciálních ploch. Říkáme jim též ekvipotenciální hladiny nebo ekvipotenciální čáry ve 2D. Určité těleso má ve všech místech ekvipotenciální plochy stejnou potenciální energii. Ekvipotenciální hladiny jsou kolmé na intenzitu pole \(\Vec{a}_\mathrm{g}\).

17.27 – Znázornění gravitačního pole pomocí ekvipotenciálních čar
Poznámka na okraj: Potenciální energie tělesa v gravitačním poli

Potenciální energie tělesa v daném místě gravitačního pole je definována jakožto práce, kterou vykoná gravitační síla při přenesení tohoto tělesa z vybraného místa do předem zvoleného referenčního bodu. V případě centrálního pole se obvykle volí referenční bod v nekonečnu.

17.28 – Odvození vztahu pro potenciální energii tělesa v gravitačním poli – označení veličin

Poněvadž se gravitační síla během cesty z \(r_0\) do nekonečna mění, musíme práci počítat integrálem:

\[\begin{aligned} E_\mathrm{P} &= \left.W_\mathrm{g}\right|_{r_0\to\infty} = \int_{r_0}^{\infty} \Vec{F}_\mathrm{g}\cdot\mathrm{d}\Vec{r} = -\int_{r_0}^{\infty} F_\mathrm{g}\,\mathrm{d}r = -\int_{r_0}^{\infty} G\frac{mM}{r^2}\,\mathrm{d}r = -GmM\int_{r_0}^{\infty} \frac{1}{r^2}\,\mathrm{d}r\\ &= -GmM\left[-\frac{1}{r}\right]_0^{\infty} = -GmM\left[-\frac{1}{r}\right]_0^{\infty} = -GmM\left[0-\left(-\frac{1}{r_0}\right)\right] = -G\frac{mM}{r_0}\\ \end{aligned}\]

Potenciální energie tělesa o hmotnosti \(m\) ve vzdálenosti \(r_0\) od středu tělesa hmotnosti \(M\), které pole vytváří, je tedy dána vztahem \(E_\mathrm{P}=-GmM/r_0\). Odsud plyne, že ekvipotenciální hladiny v centrálním poli jsou soustředné kulové plochy. Záporné znaménko vyjadřuje skutečnost, že částice \(m\) se nachází v potenciálové jámě. Pokud nemá dostatečnou kinetickou energii, je v gravitačním poli vázána, nemůže je opustit.

Studujeme-li pohyby jen v malé oblasti prostoru u povrchu Země, kde je gravitační pole téměř homogenní, volíme referenční bod na povrchu Země a gravitační sílu považujeme za konstantní.

Potom

\[ E_\mathrm{P} = W_\mathrm{g} = F_\mathrm{g}h\cos(0) = G\frac{mM_\mathrm{Z}}{r_\mathrm{Z}^2}h = ma_\mathrm{aZ}h \simeq mhg\;. \]

Tíhová síla a tíhové pole

Tíhová síla je gravitační síla u povrchu Země ovlivněná rotací Země. Je zvykem označovat gravitační sílu symbolem \(\Vec{F}_\mathrm{g}\) a tíhovou sílu symbolem \(\Vec{F}_\mathrm{G}\). Mnoho lidí tyto pojmy zaměňuje, protože je mezi nimi rozdíl opravdu malý. Podívejme se podrobněji, v čem tento rozdíl spočívá… a objevme nečekané souvislosti.

Tíhová síla \(\Vec{F}_\mathrm{G}\) definuje pro pozorovatele na Zemi svislý směr. Jednoduše řečeno, zavěsíme-li na povrchu Země těleso na provázek, má \(\Vec{F}_\mathrm{G}\) směr provázku. Síla \(\Vec{F}_\mathrm{G}\) je vždy kolmá na vodní hladinu v daném místě na Zemi. Když člověk stojí v klidu na váze, váha ukazuje velikost tíhové síly.

17.29 – Ke kontrole svislého směru zdí se používala olovnice – olověné těleso zavěšené na provázku. Provázek má směr tíhové síly a je kolmý na vodorovný směr. Ten můžeme ověřit pomocí vodováhy.

Pokud by se Země neotáčela kolem svojí osy, směřoval by provázek díky gravitaci přesně do středu Země a síly gravitační \(\Vec{F}_\mathrm{g}\) a tíhová \(\Vec{F}_\mathrm{G}\) by byly totožné.

Jenže naše planeta se otáčí! Pozorovatel na povrchu Země se nachází v neinerciální vztažné soustavě. Zatímco gravitační síla přitahuje tělesa přesně do středu Země, kvůli rotaci planety se zavěšená tělesa mírně vychýlí od osy otáčení, podobně jako se ze svislého směru vychýlí sedačky řetízkového kolotoče, když se kolotoč roztočí.

Následující obrázek ukazuje, jak by situace vypadala, kdyby se Země otáčela mnohem rychleji.

S výjimkou pólů a rovníku nesměřují svislé zdi domů přesně do středu Země, vodorovná hladina není přesně kolmá na spojnici daného místa a těžiště Země.

17.30 – Na těleso zavěšené v gravitačním poli rotující Země působí gravitační síla \(\Vec{F}_\mathrm{g}\) a tahová síla závěsu \(\Vec{F}_\mathrm{T}\). Pozorovatel na povrchu necítí pomalé otáčení Země a má pocit, že proti \(\Vec{F}_\mathrm{T}\) působí tíhová síla \(\Vec{F}_\mathrm{G}\).

Ve skutečnosti se ovšem Země otáčí pomalu, totiž s periodou 1 den, a výše popsaný efekt je hodně slabý. Odchylka směru tíhové síly od gravitační činí v ČR přibližně 0,1°, což při výpočtech můžeme směle zanedbat.

Poznamenejme, že otáčení Země má vliv i na tvar naší planety. Zemský plášť je tekutý, na jeho povrchu se nachází relativně tenká zemská kůra. Klidná mořská hladina má v každém místě směr kolmý na \(\Vec{F}_\mathrm{G}\). Neuvažujeme-li suchozemský reliéf, má Země tvar rotačního elipsoidu, rovníkový poloměr je \(R_\mathrm{E}=6\,378\ \mathrm{km}\), ale poloměr měřený od pólů je o 21 km menší – \(R_\mathrm{P}=6\,357\ \mathrm{km}\). K výpočtům se často používá střední poloměr Země \(R_\mathrm{Z}=6\,371\ \mathrm{km}\), což by byl poloměr koule o stejném objemu, jaký má Země ve skutečnosti.

Tíhové zrychlení \(\Vec{g}\) definujeme jako podíl tíhové síly \(\Vec{F}_\mathrm{G}\) a hmotnosti \(m\) tělesa, na nějž působí:

\[ \Vec{g} = \frac{\Vec{F}_\mathrm{G}}{m} \]

Má směr tíhové síly \(\Vec{F}_\mathrm{G}\) a určuje, s jakým zrychlením budou volným pádem padat tělesa u povrchu otáčející se Země. Tíhové zrychlení není konstanta. Závisí jednak na nadmořské výšce, jednak na zeměpisné šířce.

Místo Změřené tíhové zrychlení g
Rovník, na úrovni mořské hladiny 9,780 m/s2
Zemský pól 9,835 m/s2
Praha 9,814 m/s2
Mexico City 9,776 m/s2
Mount Everest 9,773 m/s2
Poznámka na okraj: Tíhové zrychlení podrobněji

Z hlediska inerciální geocentrické vztažné soustavy, kde platí Newtonovy pohybové zákony, není předmět ležící na povrchu Země zcela v klidu. Pohybuje se totiž spolu s povrchem Země po kružnici, a má tedy dostředivé zrychlení \(\Vec{a}_\mathrm{N}\). Jak ukazuje obrázek 17.31, reálné síly gravitační \(\Vec{F}_\mathrm{g}\) a normálová \(\Vec{F}_\mathrm{N}\) se nemohou přesně vyrušit, jejich výslednice směřuje do středu kruhové trajektorie a platí \(\Vec{F}_\mathrm{g}+\Vec{F}_\mathrm{N}=m\Vec{a}_\mathrm{N}\).

17.31 – Silový diagram z hlediska inerciální vztažné soustavy, kde platí Newtonovy zákony.

Z hlediska pozorovatele na povrchu Země (neinerciální laboratorní vztažná soustava) se pro těleso ležící v klidu ovšem přesně vyruší normálová síla \(\Vec{F}_\mathrm{N}\) se silou tíhovou \(\Vec{F}_\mathrm{G}\). Máme tedy \(\Vec{F}_\mathrm{g}-\Vec{F}_\mathrm{G}=m\Vec{a}_\mathrm{N}\), odkud získáváme vyjádření tíhové síly:

\[ \Vec{F}_\mathrm{G} = \Vec{F}_\mathrm{g} - m\Vec{a}_\mathrm{N}\;. \]

Vydělíme-li tuto rovnici hmotností \(m\) uvažovaného tělesa, dostáváme přesnou definici tíhového zrychlení:

\[ \Vec{g} = \Vec{a}_\mathrm{g}- \Vec{a}_\mathrm{N} \]

Velikost gravitačního zrychlení počítáme ze vztahu \(a_\mathrm{g}=GM/R^2\) a normálové zrychlení ze vztahu \(a_\mathrm{N}=v^2/r\).

17.32 – Vztah mezi gravitačním a tíhovým zrychlením