Gravitační pole

Teoretické otázky:

1. Vysvětlete samostatně, co je to gravitační pole.
2. Uveďte směr, působiště a vzorec pro výpočet gravitační síly.
3. Uveďte směr, působiště a vzorec pro výpočet tíhové síly.
4. Napište hodnotu gravitační konstanty \(G\) a hodnotu tíhového zrychlení \(g\) na povrchu Země (samozřejmě obojí s jednotkou).
5. Uveďte, na čem závisí tíhové zrychlení.

Poloměr Měsíce je 1,74 ⋅ 10⁶ m, jeho hmotnost 7,34 ⋅ 10²² kg.

1. Vypočítejte velikost gravitačního zrychlení na povrchu Měsíce.
2. Do jaké výšky byste na Měsíci dokázali vyskočit, kdybyste se odrazili rychlostí 4,4 m/s? Tato rychlost odpovídá výskoku do výšky 1 m na Zemi.

Poloměr planety Mars je 3,40 ⋅ 10³ km, gravitační zrychlení na povrchu má hodnotu 3,72 m/s². Určete:

1. hmotnost Marsu,
2. gravitační zrychlení ve výšce 1 000 km nad povrchem Marsu.

Jaké je gravitační zrychlení ve výšce 36 000 km nad povrchem Země? V této výšce se nacházejí tzv. geostacionární družice.

Označme \(a_0\) gravitační zrychlení na povrchu planety o poloměru \(R\). Odvoďte, že gravitační zrychlení \(a_h\) ve výšce \(h\) nad povrchem planety je dáno vztahem

\[ a_h = a_0\left(\frac{R}{R+h}\right)^{\!2} \]

Gravitační zrychlení na povrchu Saturnu je 7,85 m/s². Ve vzdálenosti 5 000 km nad jeho povrchem má gravitační zrychlení hodnotu 6,69 m/s². Na základě těchto údajů vypočítejte poloměr Saturnu.

Země se otáčí kolem své osy s periodou 1 den. Rovníkový poloměr je \(R_\mathrm{E}=6\,378\ \mathrm{km}\), polární poloměr \(R_\mathrm{P}=6\,357\ \mathrm{km}\), střední poloměr Země \(R_\mathrm{Z}=6\,371\ \mathrm{km}\). Hmotnost Země je \(M_\mathrm{Z}=5{,}972\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}\). Gravitační konstanta je \(G=6{,}674\cdot10^{-11}\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{kg}^{-2}\). Na základě těchto údajů vypočítejte teoretické hodnoty tíhového zrychlení:

1. na severním pólu v zanedbatelné nadmořské výšce,
2. na rovníku v nulové nadmořské výšce,
3. na 50° severní šířky v nulové nadmořské výšce (vezměte střední poloměr Země),
4. tíhové zrychlení v místě svého bydliště.

Svůj druhý světový rekord v hodu oštěpem získal Jan Železný v roce 1990 během mítinku Zlaté ligy v Oslo. Bylo mu tehdy 24 roků a hodil do vzdálenosti 89,66 m.

Zanedbáme-li odpor vzduchu, lze délku šikmého vrhu vypočítat ze vztahu

\[ d = \frac{v_0^2}{g}\sin\alpha\;, \]

kde \(v_0\) je počáteční rychlost, \(\alpha\) elevační úhel a \(g\) tíhové zrychlení. Oslo leží v malé nadmořské výšce, místní tíhové zrychlení je 9,819 m/s².

Jak daleko by oštěp letěl za jinak stejných počátečních podmínek, kdyby se mítink konal v La Paz, nejvýše položeném hlavním městě světa? La Paz leží v Bolívii v nadmořské výšce 3640 m. Místní tíhové zrychlení má hodnotu 9,784 m/s².