V tomto oddílu prozkoumáme, co je příčinou kmitání. Vše si vysvětlíme na dvou základních příkladech – na příkladu pružinového oscilátoru, kterým se dají modelovat složitější situace od kmitání atomů v pevných látkách až po ušní bubínek, a na příkladu matematického kyvadla, které jako model dobře funguje pro objekty zavěšené v gravitačním poli.
Kmitavý pohyb může nastat vždy, když existuje stabilní rovnovážná poloha tělesa. Při vychýlení z rovnovážné polohy na toto těleso začne působit vratná síla (často je to výslednice více působících sil), která vrací těleso zpět do rovnovážné polohy. Tato vratná síla nemůže být konstantní: při vychýlení tělesa na jednu stranu musí síla „táhnout“ směrem do rovnovážné polohy, při překmitnutí tělesa na opačnou stranu se automaticky musí změnit její orientace.
Pružinový oscilátor
Pružiny
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/cache/2022/10/21_17a/1578026301.jpg)
Zdroj
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/cache/2022/10/21_17b-scaled/3720454776.jpeg)
Zdroj
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/cache/2022/10/21_17c-scaled/894262060.jpeg)
Zdroj
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/cache/2022/10/21_17d-scaled/843642831.jpeg)
Zdroj
Existuje velké množství technických provedení pružin, ale všechny mají jedno společné: při natahování nebo stlačování začne pružina vytvářet sílu, díky níž se snaží vrátit se do nedeformovaného stavu. Tahová síla pružiny \(\Vec{F}_\mathrm{T}\) má směr rovnoběžný s osou pružiny, orientovaná je vždy proti deformaci. Jak jste mohli samostatně objevit v motivační aktivitě, tahová síla pružiny je přímo úměrná jejímu prodloužení, tedy
\[ F_\mathrm{T} = k\cdot\Delta l\;, \]kde \(\Delta l\) označuje prodloužení pružiny v metrech a \(k\) je konstanta úměrnosti zvaná tuhost pružiny v newtonech na metr (N/m). Uvedený vztah je důsledkem Hookova zákona pro konkrétní těleso.
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2022/10/21_18.jpg)
Zdroj
Dynamika pružinového oscilátoru
Prozkoumejme nyní pohyb tělesa pod vlivem tahové síly pružiny. Vozík o hmotnosti m položíme na hladkou vodorovnou podložku. Pružina o tuhosti k je na jednom konci upevněna k nepohyblivé stěně, její druhý konec je připojen k vozíku. V prvním přiblížení zanedbáme tření a moment setrvačnosti kol. Pokud není pružina napjatá, setrvává vozík v rovnovážné poloze. Vozík vychýlíme z rovnovážné polohy a v určitém okamžiku uvolníme bez počáteční rychlosti – viz obrázek 21.19.
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2022/10/21_19a.jpg)
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2022/10/21_19.jpg)
Zdroj
Na vozík působí současně tíhová síla \(\Vec{F}_\mathrm{G}\), kolmá tlaková síla \(\Vec{F}_\mathrm{N}\) a tahová síla pružiny \(\Vec{F}_\mathrm{T}\). Vozík se pohybuje jen vodorovně, a proto se síly \(\Vec{F}_\mathrm{G}\) a \(\Vec{F}_\mathrm{N}\) musí vzájemně vyrušit. Výslednice sil je tedy rovna tahové síle pružiny \(\Vec{F}_\mathrm{T}\).
V našem případě na obrázku 21.19 je \(\Vec{F}_\mathrm{T}\) vratnou silou oscilátoru a prodloužení \(\Delta l\) je rovno okamžité výchylce z rovnovážné polohy \(x(t)\). Přímá úměrnost \(F_\mathrm{T}=kx\) znamená, že čím je oscilátor více vychýlen z rovnováhy, tím větší síla jej vrací zpět.
Jakmile těleso v bodě A uvolníme (bez počáteční rychlosti), urychluje je síla \(\Vec{F}_\mathrm{T}\) napjaté pružiny směrem doleva do rovnovážné polohy. V rovnovážné poloze O je sice síla \(\Vec{F}_\mathrm{T}\) nulová, ale těleso již získalo rychlost a setrvačností překmitne zprava doleva, tedy na opačnou stranu. Čím větší je potom výchylka vlevo od rovnovážné polohy, tím větší síla \(\Vec{F}_\mathrm{T}\) stlačené pružiny je brzdí (síla nyní působí vpravo, směrem do rovnovážné polohy), až se těleso na okamžik zcela zastaví v bodě obratu B. Situace se pak pro pohyb z B do A analogicky opakuje.
Frekvenci a periodu kmitání pružinového oscilátoru určují dvě konstanty: jednou z nich je tuhost pružiny \(k\), která nastavuje velikost vratné síly, a druhou konstantou je hmotnost kmitajícího tělesa \(m\), která charakterizuje jeho setrvačnost. Následující důležitý vztah můžete částečně objevit v praktiku a jeho odvození najdete v rozšiřující poznámce pod rámečkem. Lze jej aplikovat jak na oscilátor kmitající vodorovně, tak na oscilátor svislý.
Perioda pružinového oscilátoru
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac mk}\;, \]\(m\) – hmotnost tělesa v kg,
\(k\) – tuhost pružiny v N/m.
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2021/05/ICO_0016_otazka.png)
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2021/02/ICO_0012_down_arrow.png)
Těžší těleso kmitá pomaleji, tedy s větší periodou.
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2021/02/ICO_0011_up_arrow.png)
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2021/05/ICO_0015_priklad.png)
Na pružinu o klidové délce 20 cm a tuhosti 15 N/m zavěsíme závaží o hmotnosti 200 g.
- Určete délku pružiny v rovnovážné poloze.
- Určete frekvenci kmitání.
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2021/02/ICO_0012_down_arrow.png)
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2022/10/21_01.jpg)
Zdroj
a) V rovnovážné poloze se působící síly vzájemně vyruší, platí tedy \(F_\mathrm{T}=F_\mathrm{G}\) neboli \(k\,\Delta l=mg\). Prodloužení pružiny je
\[ \Delta l = \frac{mg}k = \frac{0{,}200\cdot9{,}81}{15}\ \mathrm{m} = 0{,}13\ \mathrm{m} = 13\ \mathrm{cm}\;. \]Délka pružiny v rovnovážné poloze je 33 cm.
b) Perioda kmitání je
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac mk} = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}200\ \mathrm{kg}}{15\ \mathrm{N/m}}} = 0{,}73\ \mathrm{s}\;, \]takže frekvence \(f=1/T=1{,}4\ \mathrm{Hz}\).
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2021/02/ICO_0011_up_arrow.png)
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2021/05/ICO_0023_poznamka.png)
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2021/05/ICO_0013_down_arrow_gray.png)
Vyjdeme ze situace na obrázku 21.19 ve výkladu. Pozorovatel pohybu se nachází v inerciální vztažné soustavě. Podle druhého Newtonova zákona je výslednice sil působících na těleso rovna součinu hmotnosti a zrychlení tělesa,
\[ m\Vec{a} = \sum_i \Vec{F}_i\;. \]Promítneme-li tuto vektorovou rovnici do osy \(x\), získáváme algebraickou rovnici
\[ ma_x = -F_\mathrm{T} \]neboli
\[ ma_x = -kx\;. \]V předešlém oddílu jsme experimentálně zjistili, že pružinový oscilátor kmitá harmonicky. Dosaďme tedy kinematické vztahy pro výchylku \(x=x_\mathrm{m}\sin(\omega t+\varphi_0)\) a pro zrychlení \(a_x=-\omega^2x_\mathrm{m}\sin(\omega t+\varphi_0)\),
\[ -m\omega^2x_\mathrm{m}\sin(\omega t+\varphi_0) = -kx_\mathrm{m}\sin(\omega t+\varphi_0) \]čili
\[ (m\omega^2-k)x_\mathrm{m}\sin(\omega t+\varphi_0)\; = 0. \]Tento vztah musí být splněn v jakémkoli čase \(t\) a pro jakoukoli amplitudu \(x_\mathrm{m}\). To lze zajistit jedině tak, že první činitel je identicky roven nule:
\[ m\omega^2-k = 0\;. \]Odsud již snadno odvodíme úhlovou frekvenci
\[ \omega = \sqrt{\frac km} \]a periodu kmitání
\[ T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac mk}\;. \]![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2021/05/ICO_0014_up_arrow_gray.png)
Dynamika kmitání struny na kytaře
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/cache/2022/10/21_21a-scaled/3760601867.jpeg)
Zdroj
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/cache/2022/10/21_21b/2410510260.jpg)
Zdroj
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/cache/2022/10/21_21c-scaled/922373785.jpeg)
Zdroj
Matematické kyvadlo
Těleso upevníme pomocí provázku k pevnému bodu závěsu. Provázek musí mít stálou délku a hmotnost zanedbatelnou v porovnání s hmotností tělesa. Symbolem \(l\) označíme vzdálenost těžiště tělesa do bodu závěsu. Použijeme těleso malých rozměrů s vyšší hustotou, abychom mohli zanedbat odporovou sílu vzduchu. Těleso vychýlíme z rovnovážné polohy a uvolníme bez počáteční rychlosti – viz obrázek 21.22 a).
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2022/10/21_22.jpg)
Zdroj
Na těleso působí tíhová síla \(\Vec{F}_\mathrm{G}\), která je po celou dobu konstantní, a tahová síla provázku \(\Vec{F}_\mathrm{N}\), jejíž směr i velikost se během kmitání mění. Složením těchto sil (vektorovým součtem) vzniká výslednice \(\Vec{F}\). Jejím vlivem vykonává těleso nerovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici. Projekce \(\Vec{F}\) do směru pohybu je vratnou silou oscilátoru.
Za pozornost stojí i průchod rovnovážnou polohou – viz obrázek 21.22 b). Kmitající těleso v ní nesetrvává, ale pohybuje se křivočaře po kružnici o poloměru \(r=l\). Proto se síly ani v tomto bodě trajektorie při pohybu nevyruší, neboť podle druhého Newtonova zákona \(F_\mathrm{T}-F_\mathrm{G}=ma_\mathrm{N}\), kde \(a_\mathrm{N}\) je nenulové normálové zrychlení \(a_\mathrm{N}=v^2/l\).
Experimentováním v praktiku můžete samostatně objevit vztah pro periodu kmitání matematického kyvadla.
Perioda matematického kyvadla
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac lg} \]\(l\) – délka závěsu,
\(g\) – tíhové zrychlení.
Uvedený vztah platí pouze přibližně a používat jej můžeme jen pro kmity s malou amplitudou (tzv. malé kmity). Například pro \(\alpha_\mathrm{m}=10^\circ\) je nepřesnost tohoto vztahu 0,2 %.
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2021/05/ICO_0015_priklad.png)
Kyvadla sehrála v minulosti důležitou úlohu při měření času. Vynálezem a stavbou kyvadlových hodin proslul holandský fyzik Christian Huygens. Jaká musí být délka matematického kyvadla \(l\), aby přechod z bodu obratu do protilehlého bodu obratu trval přesně jednu sekundu? Tíhové zrychlení v místě experimentu je 9,80 m/s2.
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2021/02/ICO_0012_down_arrow.png)
Přechod z bodu obratu do protilehlého bodu obratu odpovídá polovině kmitu, takže perioda kmitání je \(T=2{,}00\ \mathrm{s}\). Ze vzorce pro periodu \(T=2\pi\sqrt{l/g}\) vyjádříme neznámou délku \(l\) a dosadíme číselné hodnoty.
\[ l = \left(\frac T{2\pi}\right)^2g = \left(\frac{2{,}00\ \mathrm{s}}{2\pi}\right)^2\cdot9{,}80\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-2} = 0{,}993\ \mathrm{m} = 99{,}3\ \mathrm{cm}\;. \]Délka kyvadla musí být 99,3 cm.
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2021/02/ICO_0011_up_arrow.png)
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2021/05/ICO_0016_otazka.png)
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2021/02/ICO_0012_down_arrow.png)
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2021/02/ICO_0011_up_arrow.png)
Foucaultovo kyvadlo
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/cache/2022/10/21_23a-scaled/569570638.jpeg)
Zdroj
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/cache/2022/10/21_23b-scaled/3273062643.jpeg)
Zdroj
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/cache/2022/10/21_23c-scaled/4007652483.jpg)
Zdroj