Rezonance

Rozdělení kmitání

Kmitání těles můžeme rozdělit do dvou kategorií – na kmitání volné a nucené.

Volné kmitání probíhá pouze vlivem vratné síly. Na začátku tělesu udělíme počáteční impuls a ono pak už kmitá „samo“, jen vlivem vratné síly. Pokud amplituda kmitání klesá, nazývá se kmitání tlumené, při konstantní amplitudě jde o netlumené kmitání.

Nucené kmitání nastává vlivem vnější periodické síly, která působí na kmitající těleso. Působí-li dlouhodobě, začne těleso kmitat s frekvencí \(f\) této vnější síly.

Rozdíl mezi volným a nuceným kmitáním se dá jednoduše pochopit na příkladu dětské houpačky. Když se do houpačky na začátku jednou opřete a pak ji necháte samovolně houpat, bude její kmitání volné tlumené a amplituda kmitů se bude postupně snižovat. Naopak když se do houpačky opřete pokaždé, jakmile prochází například rovnovážnou polohou doleva, bude její kmitání nucené. Vnější síla, která vyvolává kmitání a periodicky do systému dodává energii, se nazývá budič. U houpačky je budičem rozhoupávající dospělý. Samotný kmitající systém, na nějž z vnějšku působí budič, se nazývá rezonátor (v našem příkladu houpačka s dítětem).

Vibrující struna svým kmitáním rozechvívá okolní vzduch a vyvolává zvukové vlny. Vzhledem k tomu, jak je tenká, je v kontaktu jen s malým objemem vzduchu a její chvění by vyvolalo pouze slaboučký tón. K zesílení tónu je klavír opatřen mohutnou dřevěnou rezonanční deskou, na kterou se přes upevnění struny a rám vibrace struny přenášejí. Chvějící se deska rozpohybuje velký objem vzduchu a získáme tak hlasitější tón. Budičem je zde struna a rezonátorem dřevěná deska.

Při hře na trubku trumpetista napne rty a štěrbinou mezi nimi fouká vzduch z plic do nástroje. Štěrbina se velmi rychle otevírá a uzavírá a vyvolává tlakové vlny v místě nátrubku (budič). Jimi se rozvibruje sloupec vzduchu v nástroji (rezonátor).

Kontrolní otázka

Vyberte všechny případy, kdy se jedná o nucené kmitání:

struna na klavíru,
struna na houslích, na kterou hrajeme smyčcem,
kotvový krok v mechanických hodinkách,
membrána reproduktoru, na který bylo přivedeno střídavé napětí,
membrána mikrofonu, když do něj zpíváme,
membrána bubnu, do něhož jednou za sekundu udeříme paličkou,
lidské hlasivky, když zpíváme,
kmitání zavěšení kola, když projedeme výmolem na silnici,
elektrony v anténě, na niž dopadá elektromagnetická vlna.

Odeslat  

Rezonance

Rezonátor samotný může, po dodání počátečního impulzu, volně kmitat s vlastní frekvencí \(f_0\), která závisí na jeho fyzických parametrech (rozměry, hmotnost, tuhost, …). Toto kmitání je tlumené a po určité době ustane.

Pro nucené kmitání je charakteristické, že v ustáleném stavu je frekvence, s níž rezonátor kmitá, rovna frekvenci budiče \(f\), a nikoli vlastní frekvenci \(f_0\) – nezávisí tedy na fyzických parametrech rezonátoru samotného. Ovšem amplituda, s níž tyto nucené kmity probíhají, záleží na tom, jak je frekvence budiče \(f\) vzdálena od vlastní frekvence rezonátoru \(f_0\). Pokud jsou frekvence \(f\) a \(f_0\) hodně vzdáleny, je amplituda nuceného kmitání malá, pokud jsou frekvence \(f\) a \(f_0\) blízké, kmitá rezonátor s velkou amplitudou (za jinak stejných podmínek). V případě, že je frekvence budiče a vlastní frekvence rezonátoru stejná \(f=f_0\), je amplituda nuceného kmitání maximální a říkáme, že nastává rezonance. Slabý vnější podnět, který pravidelně a dlouhodobě působí s rezonanční frekvencí \(f=f_0\), vyvolá v systému velkou odezvu. Jinými slovy řečeno, dítě na houpačce teoreticky můžeme vnější silou rozhoupat v libovolné frekvenci \(f\), ale jen při vlastní frekvenci houpačky \(f=f_0\) se dítě hodně rozhoupá při použití malé energie.

Amplituda \(y_\mathrm{m}\) nuceného oscilátoru v ustáleném stavu závisí jak na amplitudě \(F_\mathrm{m}\) a frekvenci \(f\) vnější periodické síly, tak na vlastní frekvenci \(f_0\) a součiniteli tlumení \(\delta\) samotného oscilátoru. Na obrázku 21.31 je znázorněna závislost amplitudy \(y_\mathrm{m}\) na frekvenci \(f\) vnější síly pro tři různé hodnoty součinitele tlumení \(\delta\) a při frekvenci vlastního netlumeného kmitání \(f_0=100\ \mathrm{Hz}\). Graf funkce \(y_\mathrm{m}(f)\) se nazývá rezonanční křivka.

Při silném tření v soustavě – křivka odpovídající \(\delta=0{,}5\omega_0\), kde \(\omega_0=2\pi f\) – je závislost amplitudy na \(f\) slabá. Rezonanční křivka má neostré maximum, pro různé frekvence vnější síly kmitá rezonátor přibližně stejně. V praxi se takto chová například dřevěná rezonanční deska klavíru – ať zní kterákoli struna, deska se rozvibruje s přibližně stejnou amplitudou.

Uvažujme nyní případ, kdy je tření málo významné – křivka odpovídající \(\delta=0{,}1\omega_0\). Jakmile je frekvence \(f\) vnější síly přibližně stejná, jako je vlastní frekvence \(f_0\) oscilátoru, amplituda kmitání výrazně vzroste – rezonanční křivka má ostré maximum. Malý vnější opakovaný podnět vyvolává velkou odezvu, nastává rezonance. Čím menší je tlumení, tím ostřejší je maximum rezonanční křivky (s tím větší amplitudou se soustava rozkmitá při stálé amplitudě vnější síly). Rezonance je žádoucí jev u hudebních nástrojů, a naopak nežádoucí u strojů a staveb.

Budete-li prstem třít o silně tlumenou dřevenou desku stolu, vytvoříte pravděpodobně jen šumění. Budete-li ovšem prstem třít o hranu slabě tlumené skleničky, rozezní se, avšak jen na určité frekvenci – má ostré rezonanční maximum. Tato rezonanční frekvence je rovna vlastní frekvenci skleničky \(f_0\), na níž by kmitala volně, kdybyste do ní cvrnkli pouze jednou. Co se stane, když naladíte frekvenci budiče přesně na vlastní frekvenci skleničky, si můžete prohlédnout ve videu k této kapitole.

Proud vzduchu dopadající na okraj láhve vyvolává nepravidelné turbulence vzduchu (budič). Vzduch v láhvi je rezonátorem se slabým tlumením a má ostré rezonanční maximum. Ze všech možných frekvencí obsažených v turbulencích se s nezanedbatelnou amplitudou rozezní právě ta, která je vlastní frekvencí rezonátoru.

Poznámka na okraj: Rezonance ve stavebnictví

U každé stavby je důležité vyhnout se rezonanci vyvolané okolními vlivy, ta by stavbu mohla poškodit nebo zničit. Stavby se tedy záměrně navrhují tak, aby měly jiné vlastní frekvence, než jakými může působit okolí. V seismicky aktivních oblastech proto musí mít budovy zcela odlišné vlastní frekvence než předpokládané frekvence záchvěvů zemského povrchu. Jsou-li součástí stavby motory nebo jiné zdroje vibrací, volí se vlastní frekvence budov záměrně odlišné, aby nedošlo k rezonanci.

Při synchronizovaném pochodu po mostě hrozí jeho rozkmitání a následné zřícení. K této události skutečně došlo v roce 1831 na mostě Broughton Suspension Bridge. Při jeho přecházení vojáci pochodovali vojenským krokem v útvaru a most lehce rozkmitali. Kmity mostu začali cítit, a jelikož se jim to zdálo zábavné, ještě přidali do rytmu kmitů, což vedlo k rezonanci a následnému zřícení stavby. Od té doby se začal v armádě používat povel: „Zrušit krok!“ Ještě dnes se dají najít důkazy, například nápis na Albert Bridge v Londýně, který upozorňuje vojáky, že při přecházení mostu je třeba zrušit krok.

Již během stavby se u tohoto visutého mostu přes Tacomskou úžinu v americkém státě Washington začaly projevovat koncepční vady. Otevřen byl 1. července 1940. Na svoji délku byl příliš úzký a neměl výztuhy pod mostovkou, což jej činilo příliš tenkým. Při bočním větru se most lehce rozkmitával. To se stalo i v den jeho zřícení 7. listopadu 1940, kdy foukal vytrvalý boční vítr, který most rozkmital nejen příčně, ale objevil se i torzní kmitový mód (kroucení). Torzní kmity vedly k uvolnění jednoho z nosných lan a následné narušení symetrie způsobilo další zesílení těchto torzních kmitů, což vyvolalo obrovskou nestabilitu a nevyhnutelné zřícení mostu. Důvodem nebyla pouze rezonance, ale i řada dalších jevů, nicméně rezonance zde sehrála důležitou roli.

Most v Londýně vedený přes řeku Temži byl otevřen 10. června 2000 a ještě téhož dne byl uzavřen z důvodu silných vibrací. Most bylo nutné upravit, zpřístupněn byl až v roce 2002. Silné oscilace mostu byly vyvolány tzv. jevem pozitivní zpětné vazby. Velké množství lidí chodících po mostě vyvolalo malé boční oscilace, jenže těmto oscilacím lidé podvědomě podřídili svoje další kroky a to vedlo k jejich dalšímu zesílení. Při konstrukci mostů se s rezonancí způsobenou okolními jevy počítá, ale zde za rezonancí stáli samotní chodci.

Jedná se o jeden z nejbezpečnějších moderních mrakodrapů světa s výškou 509,2 m. Je navržen tak, aby odolal větru o nárazech 60 m/s (216 km/h) a zemětřesením, která se v oblasti vyskytují jednou za 2 500 let. Této stability je mimo jiné dosaženo pomocí obrovského ocelového kyvadla o hmotnosti 660 tun v horních patrech budovy. To svým pohybem vyvažuje případné rezonanční kmitání budovy, a funguje tedy jako tlumič pohybů způsobených okolními vlivy.