Kinetická energie a její souvislost s prací

Kinetická energie je druh energie, který souvisí s pohybovým stavem tělesa. Říkáme, že těleso, které se pohybuje rychlostí v, má kinetickou energii, a naopak těleso, které je v klidu, ji nemá. Jednoduchým způsobem můžeme přijít na to, jak ji vyjádřit.

Uvažujme těleso zanedbatelných rozměrů, které je v klidu v bodě A (\(v_A=0\)). Účinkem výsledné konstantní síly \(\Vec{F}\) jej uvedeme do pohybu a v bodě B, kdy již urazí vzdálenost s, získá rychlost \(v_B\).

6.17 – Odvození vztahu pro kinetickou energii.
Zdroj

Síla F vykonala práci o velikosti \(W_F=Fs\). Výsledná síla je přímo úměrná zrychlení tělesa \(F=ma\), pohyb je rovnoměrně zrychlený – tedy \(s=\frac{1}{2}at^2\). Po dosazení

\[W_F=Fs=ma\cdot\frac{1}{2}at^2=\frac{1}{2}ma^2t^2\]

Protože rychlost pohybu rovnoměrně zrychleného bez počáteční rychlosti můžeme vyjádřit vztahem \(v=at\), lze napsat výsledný vztah pro vykonanou práci ve tvaru \(W_F=\frac{1}{2}mv_B^2\). Pravá strana tohoto vztahu závisí na druhé mocnině rychlosti a umožňuje nám definovat kinetickou energii hmotného bodu:

\[E_\mathrm{k}=\frac{1}{2}mv^2\]
Příklad 1

Vypočítejte kinetickou energii následujících hmotných bodů a těles. Předpokládejte, že kinetická energie tělesa se počítá stejně jako kinetická energie hmotného bodu.

  1. cyklista o hmotnosti 70 kg spurtující rychlostí 65 km/h;
  2. kulka o hmotnosti 8 g vystřelená ze samopalu rychlostí 705 m/s;
  3. meteoroid o hmotnosti 200 000 tun vstupující do atmosféry rychlostí 50 000 km/h.
6.18 – Kráter po dopadu meteoritu, Arizona, USA. Tento kráter o průměru 1,2 km vznikl asi před 50 000 lety dopadem meteoritu, jehož parametry jsou popsány v úloze. Uvolněná energie odpovídá výbuchu asi 350 jaderných bomb svržených na Hirošimu.
Zdroj
Řešení:
  1. 11,4 kJ
  2. 2 kJ
  3. 1,9 ⋅ 1016 J

Vztah mezi prací a kinetickou energií

Předchozí odvození můžeme trochu zobecnit. Mezi prací vykonanou výslednou silou a změnou kinetické energie je úzký vztah:

Celková práce vykonaná na tělese je rovna změně jeho kinetické energie.

\[W=\Delta E_\mathrm{k}=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2\]

Na levé straně rovnice máme práci v joulech, na pravé straně rovnice kinetickou energii rovněž v joulech. Práce a kinetická energie spolu tedy úzce souvisí, mají dokonce stejnou jednotku. Obě jsou skalární veličiny. Přesto mezi nimi najdeme malý rozdíl. Práce může být záporná, zatímco kinetická energie je vždy kladná. Nezávisí tedy na tom, jakým směrem se těleso pohybuje.

Tento vztah nám ukazuje důležitou souvislost mezi konáním práce a změnou energie. Konání práce je totiž jedním ze způsobů přenosu energie mezi dvěma tělesy nebo systémy.

Poznámka na okraj: Odvození vztahu

Představte si, že upustíte jablko. Jestliže jablko padá, jeho kinetická energie roste, a tíhová síla koná kladnou práci. Když jablko vyhodíte vzhůru, tíhová síla bude konat zápornou práci, a my budeme pozorovat, že jablko zpomaluje. Když tuto situaci zobecníme, můžeme říci, že kdykoliv je výsledná práce sil na těleso kladná, jeho rychlost roste. Naopak když je celková práce sil na těleso záporná, jeho rychlost klesá. Zkusme odvodit přesnou formulaci vztahu mezi prací a energií.

Uvažujme jablko o hmotnosti m padající ve vzduchu. Na jablko působí několik sil, ale my budeme uvažovat pouze tu největší z nich – tíhovou sílu \(\Vec{F}_\mathrm{G}\). Tato výsledná síla uděluje jablku konstantní zrychlení o velikosti \(a=g\) (tíhové zrychlení). Protože síla směřuje dolů a současně se jablko pohybuje také dolů, práce je kladná.

6.19 – Odvození vztahu mezi prací a kinetickou energií.
Zdroj

Uvažujeme-li počáteční rychlost jablka o velikosti v1 a poté, co jablko urazilo vzdálenost d, je jeho rychlost v2, můžeme na základě kinematiky rovnoměrně zrychleného pohybu sestavit dvě rovnice:

\[ \begin{aligned} d &= v_1t + \frac{1}{2}at^2\\ v_2 &= v_1 + at \end{aligned} \]

Když z první rovnice vyjádříme čas t a dosadíme do druhé, získáme: \(v_2^2=v_1^2+2ad\).

Odsud pak vyjádříme:

\[2ad=v_2^2-v_1^2\]

A protože zrychlení je podíl výsledné síly a hmotnosti, můžeme tento vztah přepsat jako:

\[2\frac{F}{m}d=v_2^2-v_1^2\]

Vynásobíme-li rovnici hmotností m a vydělíme-li ji 2, dostaneme:

\[Fd=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2\]

Zde již vidíme práci vykonanou výslednou silou \(W=Fd\) a změnu kinetické energie mezi počátečním a koncovým okamžikem

\[\Delta E_\mathrm{k}=E_\mathrm{k2}-E_\mathrm{k1}=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2\]

neboť vztah pro výpočet velikosti kinetické energie tělesa v posuvném pohybu je \(E_\mathrm{k}=\frac{1}{2}mv^2\).

Potvrzujeme tedy vztah \(W=\Delta E_\mathrm{k}=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2\).

Příklad 2
Jak velkou práci vykoná atlet o hmotnosti 74 kg, jestliže se rozběhne z klidu na 2,2 m/s?
Řešení:

Podle vztahu mezi prací a kinetickou energií můžeme psát:

\[W_F=\Delta E_\mathrm{k}=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2=\frac{1}{2}mv_2^2=\frac{1}{2}\cdot74\ \mathrm{kg}\cdot(7{,}2\ \mathrm{m/s})^2=1{,}9\ \mathrm{kJ}\]

Vykonaná práce je minimálně 1,9 kJ, neboť při každém kroku se též těžiště člověka zvedne o několik centimetrů, k čemuž je potřeba konat práci navíc.

Jak určit práci v případě několika působících sil?

Jestliže na těleso působí více než jedna síla, celková práce je rovna součtu prací vykonaných jednotlivými silami samostatně. Jestliže tedy síla \(\Vec{F}_1\) koná práci \(W_1\), síla \(\Vec{F}_2\) koná práci \(W_2\) atd., pak můžeme pro celkovou práci zapsat:

\[W_\mathrm{celkem}=W_1+W_2+\dots+W_n=\sum_{i=1}^n W_i\]

Celkovou vykonanou práci také můžeme vypočítat tak, že vypočítáme práci vykonanou výslednou silou \(W_\mathrm{celkem}=Fs\cos\alpha\), kde F značí výslednici všech působících sil.

Poznámka na okraj: Odvození vztahu

Síla \(\Vec{F}\) je totiž výslednicí všech sil působících na těleso a úhel α je velikost úhlu mezi posunutím a výslednou silou.

\[W_\mathrm{celkem}=\sum_{i=1}^n W_i=\sum_{i=1}^n\Vec{F}_i\cdot\Vec{s}=\Vec{s}\cdot\sum_{i=1}^n\Vec{F}_i=\Vec{s}\cdot\Vec{F}=Fs\cos\alpha\]
Příklad 3

Zkouška brzd osobního automobilu o hmotnosti 1 300 kg probíhá na vodorovném úseku zkušebního polygonu. Na úseku o délce 35 m se změní rychlost automobilu z původních 108 km/h na konečných 90 km/h.

  1. Nakreslete schéma situace včetně všech sil působících na automobil. Brzdnou sílu a odporové síly předpokládejme konstantní a zakresleme je jako jednu sílu.
  2. Vypočítejte velikost brzdné síly působící na automobil pomocí prací a energií.
Řešení:

a) Schéma:

6.20 – Zkouška brzd automobilu
Zdroj

b) Použijeme vztah ukazující na souvislost mezi prací a změnou kinetické energie:

\[ \begin{aligned} \sum W_F &= \Delta E_\mathrm{k}\\ W_\mathrm{G} + W_\mathrm{N} + W_\mathrm{b} &= \frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{1}{2}mv_A^2\\ 0+0-F_\mathrm{b}d &= \frac{1}{2}m(v_B^2-v_A^2)\\ F_\mathrm{b} &= \frac{m(v_A^2-v_B^2)}{2d} = \frac{1500\cdot(30^2-25^2)}{2\cdot35}\ \mathrm{N}=5{,}1\ \mathrm{kN} \end{aligned} \]