Kirchhoffovy zákony

Možná jste si všimli, že v předchozích příkladech jsme propočítávali obvody jen s jedním zdrojem a spotřebiče jsme nahrazovali rezistory. Co když je v obvodu více zdrojů, co když spotřebiče, jako např. žárovka a dioda, mají nelineární charakteristiky, a Ohmův zákon pro ně neplatí?

Nejuniverzálnějším nástrojem k řešení elektrických obvodů jsou Kirchhoffovy zákony. Jsou matematickým zápisem zákona zachování náboje a zákona zachování energie v elektrických obvodech. Lze je použít pro všechna zapojení.

1. Kirchhoffův zákon

Součet proudů vtékajících do uzlu je roven součtu proudů z uzlu vytékajících.

\[ \sum I_\mathrm{do} = \sum I_\mathrm{ven} \]
8.47 – Součet proudů vtékajících do uzlu je roven součtu proudů z uzlu vytékajících.
Zdroj

Platí pro libovolný uzel rozvětveného obvodu a vyjadřuje zákon zachování elektrického náboje.

Kontrolní otázka
8.48 – Schéma ke kontrolní otázce k 1. Kirchhoffovu zákonu
Zdroj

V obvodu 8.48 jsme změřili některé proudy. Pomocí 1.KZ dopočítejte proudy ve zbývajících větvích obvodu. Zapište hodnotu proudu v miliampérech.

1) I1
2) I2
3) I3
4) I4

    2. Kirchhoffův zákon

    V uzavřené smyčce je součet napětí na zdrojích roven součtu napětí na spotřebičích.

    \[ \sum U_\mathrm{zdroje} = \sum U_\mathrm{spotřebiče} \]

    Platí pro libovolnou smyčku v obvodu a vyjadřuje zákon zachování energie v elektrických obvodech.

    Nejjednodušším příkladem uzavřené smyčky je obyčejný sériový obvod. Obecně vzato, uzavřená smyčka je jakákoli cesta, jak se větvemi obvodu dostat do výchozího místa. V následujícím schématu vidíte část nějaké velmi složité sítě a v ní jsou vyznačeny dvě různé smyčky. Každé smyčce odpovídá jedna rovnice mezi elektrickými veličinami.

    8.49 – Vysvětlení pojmu smyčka
    Zdroj

    Třebaže zápis 2. Kirchhoffova zákona vypadá jednoduše, při jeho používání musíme být pozorní na znaménka. Ukažme si „návod na použití“ nejprve obecně, potom na příkladu.

    1. V jednotlivých větvích označíme směr proudu. Pokud není zřejmé, jakým směrem teče ve skutečnosti, jeden směr si prostě zvolíme… a když jsme se volbou netrefili, vyjde nám záporná hodnota \(I\).
    2. Vybereme si nějakou smyčku a v ní si zvolíme směr obcházení.
    3. Do levé strany rovnice dosazujeme elektromotorická napětí na zdrojích: pokud by zdroj (uvažovaný samostatně, bez ohledu na zbytek obvodu) dával proud ve směru obcházení po smyčce, bereme jeho elektromotorické napětí jako kladné; je-li zdroj zapojen obráceně, jeho napětí dosazujeme se znaménkem minus.
    4. Do pravé strany rovnice dosazujeme napětí na spotřebičích: pokud daným spotřebičem teče proud ve směru obcházení po smyčce, bereme jeho napětí jako kladné; v opačném případě záporné.

    Poznámka: Pokud smyčka obsahuje reálný zdroj (s vnitřním odporem), schéma překreslíme a tento zdroj znázorníme jako sériovou kombinaci ideálního zdroje (s napětím Ue) a vnitřního odporu r (bereme jako spotřebič) – viz Zdroje napětí.

    Příklad 1: Nabíjení akumulátoru

    Akumulátor o elektromotorickém napětí 10 V a vnitřním odporu 2 Ω připojíme k nabíječce dávající napětí 13 V s vnitřním odporem 1 Ω. Vypočítejte nabíjecí proud.

    8.50 – Schéma k zadání příkladu 1
    Zdroj
    Řešení:

    Obvod překreslíme pomocí ideálních zdrojů a vnitřních odporů. Označíme si zadané veličiny. Nabíječka dává vyšší napětí, určuje tedy směr proudu \(I\).

    8.51 – Ekvivalentní znázornění obvodu z příkladu 1 s vyznačenými veličinami.
    Zdroj

    Směr obcházení po smyčce si zvolíme stejný, jako je předpokládaný směr proudu. Ve smyčce jsou dva zdroje (\(U_{\mathrm{e}1}\) a \(U_{\mathrm{e}1}\)) a dva spotřebiče (\(r_1\) a \(r_2\)). Dosadíme do 2. Kirchhoffova zákona:

    8.52 – Vysvětlení znamének v rovnici získané dosazením do 2. Kirchhoffova zákona
    Zdroj

    Napětí na vnitřních odporech počítáme podle Ohmova zákona:

    \[ U_{\mathrm{e}1} - U_{\mathrm{e}2} = r_1 I + r_2 I \] \[ I = \frac{U_{\mathrm{e}1} - U_{\mathrm{e}2}}{r_1 + r_2} = \frac{13-10}{1+2}\ \mathrm{A} = 1\ \mathrm{A} \]

    Při nabíjení teče proud 1 A.

    Poznámka 1: Kdybychom si zvolili opačný směr obcházení po smyčce, bude první rovnice vynásobena minus jedničkou – zkuste to! Na závadu to není, násobení rovnice −1 je ekvivalentní úprava. 🙂

    Poznámka 2: Kdybychom neuhodli správně směr proudu, žádná tragédie 🙂 , proud \(I\) vyjde stejně velký s opačným znaménkem – zkuste to!

    Kontrolní otázka

    Vypočítejte napětí v obvodu na obrázku 8.53.

    8.53 – Schéma ke kontrolní otázce k 2. Kirchhoffovu zákonu
    Zdroj

    Zapište číselnou hodnotu ve voltech (V).

    1) UEN
    2) UDC
    3) UAB
    4) UAD
    5) UBC
    6) UCA
      Příklad 2: Řešení elektrické sítě

      Vypočítejte proudy v jednotlivých větvích elektrické sítě na obrázku 8.54.

      8.54 – Schéma k zadání příkladu 2
      Zdroj
      Řešení:

      Označíme si zadané veličiny. Proudy ve větvích pojmenujeme a zkusíme uhodnout jejich směr – viz 2. poznámka v předchozím příkladu.

      8.55 – Řešení příkladu 2, označení veličin
      Zdroj

      Máme tři neznámé proudy – potřebujeme sestavit soustavu tří rovnic pro tři neznámé. Z 1. Kirchhoffova zákona získáme první rovnici: \(I_1 + I_3 = I_2\). 1. KZ pro druhý uzel by nám dal tutéž rovnici, musíme tedy použít také 2. KZ.

      Zvolíme si dvě smyčky – viz obrázek.

      8.56 – Řešení příkladu 2, volba směru obcházení po smyčkách
      Zdroj

      Červená smyčka: \(U_{\mathrm{Z}1} = R_1 I_1 + R_2 I_2\)
      Zelená smyčka: \(U_{\mathrm{Z}1} - U_{\mathrm{Z}2} = R_1 I_1 - R_3 I_3\)
      Po dosazení číselných hodnot získáme soustavu tří algebraických rovnic pro tři neznámé.

      \[ \begin{aligned} I_1 - I_2 + I_3 &= 0\\ 15 I_1 + 30 I_2 &= 12\\ 15 I_1 - 10 I_3 &= 10\\ \end{aligned} \]

      Řešením této soustavy jsou proudy \(I_1 = 0{,}2\ \mathrm{A}\), \(I_2 = 0{,}3\ \mathrm{A}\) a \(I_3 = 0{,}1\ \mathrm{A}\).

      Poznamenejme, že správně bychom měli ke všem číselným hodnotám psát jednotky. Ovšem fyzikální vztahy mají tu pěknou vlastnost, že pokud do nich dosadíme v základních jednotkách, vyjde výsledek v základních jednotkách.