Síly kolem nás

Pojďme se podívat kolem sebe a prozkoumat, s jakými silami se setkáme nejčastěji. Poznejme síly, které slouží k popisu pohybu lidí, aut či vodních kapek. Zatím vynechejme síly elektrické, magnetické nebo jaderné.

Všichni jsme si již všimli účinků tíhové síly; to je síla, která nás přitahuje k Zemi. Když ale plaveme v bazénu, cítíme se „lehčí“, protože na nás působí další výrazná síla, která nás nadlehčuje – síla vztlaková. Když se chceme rozejít nebo třeba jedeme na kole, působí na nás další síly: díky třecí síle se „odrazíme“ vpřed a rozejdeme nebo rozjedeme se. S rostoucí rychlostí nás ale bude brzdit čím dál větší odporová síla vzduchu. Jaké mají tyto síly vlastnosti?

Podívejme se na ně podrobněji.

Tíhová síla

Když si stoupnete na osobní váhu, váha vám sice ukáže vaši hmotnost, ale ve skutečnosti měří velikosti síly, kterou na ni tlačíte. A takto velkou silou – tíhovou silou \(\Vec{F}_\mathrm{G}\) – vás k sobě přitahuje Země. Tíhová síla je síla působící na těleso o hmotnosti m na povrchu Země.

Tíhová síla \(\Vec{F}_\mathrm{G}\)
směr svislý (rovnoběžně s olovnicí)
velikost mg
působiště těžiště tělesa

Konstanta g, kterou násobíme hmotnost, se nazývá tíhové zrychlení a v České republice přibližně platí g = 9,81 N/kg. Přesnější hodnotu pro dané místo na povrchu Země lze najít na internetu.

Provedete-li stejné vážení na povrchu Měsíce, dostanete nižší hodnotu, přestože vaše hmotnost zůstává stejná (nebo spíše bude větší kvůli hmotnosti skafandru). Měsíc vás bude přitahovat menší silou a váha ukáže menší hodnotu než na Zemi.

Poznámka na okraj: Určování vodorovného a svislého směru v praxi (olovnice, vodováha)

Od nepaměti, kdy se člověk snažil pro sebe vybudovat nějaké přístřeší, musel řešit, jak stavbu postavit, aby byla dostatečně stabilní. Postupně se naučil rozlišovat dva základní směry – svislý a vodorovný. Vodorovný směr je směr rovnoběžný s klidnou vodní hladinou. Ve stavebnictví, ale i jinde, ho určujeme pomocí vodováhy. Její princip je jednoduchý: dlouhá (obvykle hliníková) tyč s vloženou trubicí s bublinkou obklopenou kapalinou – pokud je vzduchová bublinka mezi kalibrovanými čárkami, je tyč položena vodorovně.

4.24 – Vodováha
Zdroj
4.25 – Použití olovnice ve stavebnictví
Zdroj

Svislý směr zase nejčastěji určujeme pomocí olovnice. Není to nic jiného než provázek, na jehož konec připevníme závaží. Jakmile ho spustíte dolů, ukáže vám směr svislý, tedy např. rovnost postavené zdi a pro nás fyziky směr tíhové síly.

Jak tíhovou sílu zakreslujeme? Pomocí orientované šipky, která směřuje dolů, má počátek v těžišti tělesa a jejíž délka znázorňuje velikost této síly v určitém měřítku (viz obrázek). Například u kettlebelu na obrázku, jehož hmotnost je 12,0 kg, je velikost tíhové síly rovna FG = mg = 12,0 kg ⋅ 9,81 N/kg = 118 N. Tuto sílu v daném měřítku zakreslíme vektorem o délce 11,8 cm.

4.26 – Znázornění tíhové síly působící na závaží
Zdroj

Celkově tedy můžeme zapsat \(\Vec{F}_\mathrm{G}=m\Vec{g}\). Vektor tíhového zrychlení \(\Vec{g}\) je stejného směru jako zrychlení padajících těles (rovnoběžně s olovnicí). Více se o padajících tělesech dozvíme v kapitole 15.

4.27 – Co je vlastně svislý směr a jak ho určujeme?
Zdroj

Kolmá tlaková síla

4.28 – Při úderu boxera do pytle působící na rukavici boxera kolmá tlaková síla
Zdroj

V úvodu této kapitoly jsme viděli situaci, kdy ruka boxera naráží do boxovacího pytle a ten se pod úderem deformuje. Pytel a ruka boxera na sebe vzájemně působí silou. Této síle, která se objevuje vždy, když se nějaká tělesa dotknou, říkáme kolmá tlaková síla.

V případě kulečníkové koule ležící na stole na sebe vzájemně působí stůl a koule kolmými tlakovými silami. Kromě tlakové síly působí na kouli ještě tíhová síla, tyto síly se navzájem vyruší, a proto koule nespadne.

4.29 – Kolmá tlaková síla působící na stojící kulečníkovou kouli
Zdroj
>

Kolmá tlaková síla \(\Vec{F}_\mathrm{N}\), zvaná též normálová síla, se objevuje vždy při vzájemném dotyku těles. Jaké jsou její vlastnosti?

Kolmá tlaková síla \(\Vec{F}_\mathrm{N}\)
směr kolmo ke styčné ploše těles (kolmo k podložce)
velikost závisí na konkrétní situaci (vzorec neexistuje)
působiště v bodech dotyku

Poznámka: Velikost tlakové síly závisí na dalších působících silách a zrychlení tělesa, naučíme se ji počítat v následující kapitole. Tlaková síla ale nemůže být libovolná, její maximum je dáno pevností těles.

Kolmá tlaková síla působí bez ohledu na to, jestli jsou tělesa v klidu nebo v pohybu. Podívejme se na příklad lyžaře, který sjíždí ze svahu. Tíhová síla \(\Vec{F}_\mathrm{G}\) působí svisle dolů, ale tlaková síla podložky \(\Vec{F}_\mathrm{N}\) je kolmá ke svahu.

Jejich vektorovým součtem získáme výslednou sílu \(\Vec{F}_\mathrm{G}+\Vec{F}_\mathrm{N}=\Vec{F}\), která je rovnoběžná se svahem, a díky ní lyžař zrychluje.

4.30 – Kolmá tlaková síla je vždy kolmá k podložce. V případě nakloněné roviny stejně jako na vodorovné rovině.
Zdroj
4.31 – Kolmá tlaková síla je vždy kolmá k podložce. V případě nakloněné roviny stejně jako na vodorovné rovině.
Zdroj

Velikost kolmé tlakové síly závisí na konkrétní situaci. V případě lyžaře na svahu bude mít menší hodnotu, než když lyžař stojí dole pod svahem (viz obrázek).

Poznámka na okraj: Jak na sebe ale doopravdy působí dvě tělesa, která se dotýkají?

Síly mezi atomy mohou být přitažlivé i odpudivé, záleží na jejich vzdálenosti. To vysvětluje soudržnost pevných látek. Tlaková síla vzniká přiblížením atomů.

Už jste někdy přemýšleli, proč nemůžete projít zavřenými dveřmi? Co se asi děje na atomární úrovni? Atomy vašeho těla se přiblíží tak blízko k atomům dveří, že se začnou odpuzovat elektrickou silou (viz obrázek 4.32 níže). Atomy jsou k sobě stále blíž a blíž, síla narůstá… Dveře i vaše tělo se začínají deformovat! Dveře jsou však dostatečně pevné, a proto nedojde při deformaci k porušení jejich struktury. Atomy dveří i vašeho těla zůstávají vždy v takové vzdálenosti, že jejich odpuzování vyvolá tlakovou sílu potřebné velikosti.

4.32 – Graf vzájemného silového působení dvou atomů argonu
Zdroj

Třecí síla

Třecí síla \(\Vec{F}_\mathrm{t}\) je síla, která působí při styku dvou pevných těles. Díky tření nekloužou věci samovolně ze svahu dolů, tření nás brzdí při jízdě na lyžích. Bez tření bychom nemohli chodit ani jezdit autem, protože kola by se protáčela a boty klouzaly jako na ledě.

Proč tomu tak je? Proč je těžké posunout skříň po podlaze? Skříň se dotýká podlahy, podlaha a skříň na sebe vzájemně působí tlakovými silami, atomy jsou velmi blízko a odpuzují se (viz graf interakce Ar-Ar). Jakmile ale zatlačíte ve vodorovném směru, objeví se nová síla, která působí proti vám. Je to třecí síla a je způsobena mikroskopickými nerovnostmi mezi dvěma povrchy (viz obrázek povrchu lesklé lžičky).

4.33 – Povrch na první pohled zcela hladký vykazuje značně hrbolovitou strukturu
Zdroj

Pokud se vám podaří se skříní pohnout, začnou se navíc mikroskopické kousky povrchů odlamovat a ulpívají na druhém povrchu: dochází k opotřebení materiálu. Třecí síla působí vždy v rovině styčné plochy těles. Může působit jak v klidu (klidové, statické tření), tak při pohybu dotýkajících se těles (smykové, dynamické tření). Má následující vlastnosti:

Třecí síla \(\Vec{F}_\mathrm{t}\)
směr proti pohybu, rovnoběžně s podložkou
velikost FtD = fDFN dynamické tření
FtS = fSFN statické tření (maximum)
působiště v bodech dotyku

FN je velikost kolmé tlakové síly, která působí na těleso, a koeficient fD či fS je dynamický nebo statický koeficient tření, který závisí hlavně na druhu materiálu a vlastnostech povrchů tělesa a podložky, a obvykle nezávisí na velikosti styčné plochy.

U statického tření máme vzorec pro maximální hodnotu síly, po jejímž překročení se těleso dává do pohybu. Dynamické tření, které následuje po uvedení tělesa do pohybu, je menší než maximální statické.

Konkrétní hodnoty koeficientů tření najdete v následující tabulce.

Hodnoty koeficientů tření velmi silně závisí na vlastnostech daných povrchů – čistota, opracování, atd. Proto je berte jako orientační.
Materiály dynamický fD statický fS
pneumatiky na suché silnici 0,7–1,0
pneumatiky na mokré silnici 0,4–0,8
pneumatiky na ledu 0,05–0,2
ocel na oceli 0,4–0,6 0,7–0,8
ocel na ledu 0,04–0,06 0,07–0,12
lyže na sněhu 0,03–0,08 0,10
teflon na teflonu 0,04 0,04
kloubní pouzdra (lidské tělo) 0,003 0,01

Někdy se tření snažíme snížit tím, že povrchy od sebe oddálíme pomocí tenké vrstvy vzduchu, vody nebo oleje. Proto auto na mokré silnici hůř brzdí, proto mažeme ložiska, dveřní závěsy či motory olejem. A oddělit od sebe pohybující se tělesa vzduchem? Proč ne? Sami si můžete zkusit vyrobit jednoduché vznášedlo.

V technické praxi se na vzduchovém polštáři přesunují i velmi těžké objekty, jako například části detektoru Alice v CERNu. Jindy naopak chceme, aby třecí síla byla velká a my jsme s její pomocí bezpečně zastavili auto nebo kolo.

Příklad 1

Příklad: Na stole leží kniha o hmotnosti 0,80 kg. Abyste ji posunuli, musíte na ni tlačit silou o velikosti 2,25 N. Když se již pohybuje konstantní rychlostí, stačí na ni tlačit silou o velikosti pouze 1,50 N. Jaké jsou hodnoty koeficientů statického a dynamického tření mezi knihou a stolem?

Řešení:

Protože je hmotnost knihy 0,80 kg a kniha leží na vodorovném stole, je kolmá tlaková síla rovna 7,84 N. Velikost statické třecí síly je vyjádřena vztahem \(F_\mathrm{t}=f_\mathrm{S}F_\mathrm{N}\). Pro koeficient statického tření tak dostáváme \[ f_\mathrm{S}=\frac{F_\mathrm{t}}{F_\mathrm{N}}=\frac{2{,}25}{7{,}84}=0{,}29 \] Obdobně pro koeficient dynamického tření dostáváme \(f_\mathrm{D}=0{,}19\).

Kontrolní otázka
Představte si lyžaře, který stojí na svahu na obou lyžích. Jak se změní třecí síla v případě, že zvedne jednu nohu a zůstane stát pouze na jedné lyži?

Třecí síla podle vzorce FtS = fS·FN nezávisí na velikosti styčné plochy, ale pouze na kolmé tlakové síle a koeficientu tření. Tyto veličiny se však nezměnily. Hmotnost lyžaře se nezměnila, tudíž zůstává stejná i síla, kterou lyžař tlačí do podložky. V případě pohybu může být výhodnější jet po jedné lyži, protože nyní nejde čistě o tření, ale do hry vstupuje i deformace sněhu.
Kontrolní otázka
Vozy formule 1 mají tzv. přítlačné plochy, které vytvářejí aerodynamickou sílu působící směrem dolů. K čemu tyto části karoserie závodních vozů slouží?


Vzduch, který je obtéká, vytváří sílu směrem dolů, a zvyšuje tím tlakovou sílu FN mezi silnicí a formulí. Díky většímu tření pak může formule lépe zrychlovat, zatáčet i brzdit.

Kontrolní otázka
Jakou maximální třecí sílu může vyvinout formule?



Viz vzorec pro velikost třecí síly.
Kontrolní otázka
O jakém druhu tření se bavíme v případě otáčejícího se kola jedoucí formule? A proč?

Více o tření v dopravě se můžete dozvědět v rozšiřujícím článku Tření v dopravě.

Najdeme příklady, kdy využijeme velikou třecí sílu, a dokonce se ji ještě snažíme zvýšit jako v případě formule 1.

4.39 – Jak je tomu doopravdy s aerodynamikou formule 1?
Zdroj

U kolových dopravních prostředků je situace o něco složitější. Díky tření mezi kolem a zemí se mohou rozjíždět, brzdit a zatáčet. Na valící se kolo ale zároveň působí ještě další síla – valivý odpor. Ten působí proti směru pohybu a je způsoben deformací kola a podložky. Pro dopravní prostředky tedy požadujeme co největší tření a zároveň co nejmenší valivý odpor.

Více o tření v dopravě se můžete dozvědět v rozšiřujícím článku Tření v dopravě.

Vztlaková síla

Vztlaková síla \(\Vec{F}_\mathrm{VZ}\) působí na každé těleso ponořené do kapaliny nebo plynu (souhrnně: tekutiny). Když plaveme ve vodě, voda nás nadlehčuje a my se bez většího úsilí udržíme s hlavou nad vodou. V případě koupání v Mrtvém moři (Izrael) se nad hladinou vody nachází tak velká část těla, že si klidně při „plování na vodě“ můžete číst noviny.

4.40 – Koupání v Mrtvém moři, Izrael
Zdroj

Jak je to možné? Na čem závisí síla, která nás nadlehčuje – vztlaková síla?

Provedete-li experimenty popisované v laboratorním cvičení, snadno objevíte vlastnosti vztlakové síly. Pro její velikost platí vztah \(F_\mathrm{VZ} = \varrho_\mathrm{k}Vg\), kde ϱk je hustota kapaliny (tekutiny), V je objem ponořené části tělesa a g je tíhové zrychlení. Vztlaková síla těleso nadlehčuje, působí proti gravitaci, můžeme tedy říci, že má směr svislý a je orientována vzhůru. Její působiště zakreslíme do geometrického středu ponořené části tělesa.

Vztlaková síla \(\Vec{F}_\mathrm{VZ}\)
směr svislý vzhůru
velikost \(F_\mathrm{VZ} = \varrho_\mathrm{k}Vg\)
působiště geometrický střed ponořené části tělesa
Poznámka na okraj: Původ vztlakové síly
4.41 – K odvození velikosti vztlakové síly
Zdroj

Její původ spočívá v tlakovém působení okolní tekutiny na těleso. V gravitačním poli se s hloubkou zvyšuje tlak (hydrostatický tlak, \(p_\mathrm{h}=h\varrho g\), znáte ze ZŠ). Proto na spodní části tělesa působí větší tlakové síly než na horní. Vztlaková síla je dána rozdílem tlakových sil působících v různých hloubkách

\[ \begin{aligned} F_\mathrm{VZ}&=F_2-F_1\\ F_\mathrm{VZ}&=p_{\mathrm{h}1} S-p_{\mathrm{h}2} S\\ F_\mathrm{VZ}&=S(h_2 \varrho g-h_1 \varrho g)\\ F_\mathrm{VZ}&=S(h_2-h_1)\varrho g \end{aligned} \]

Pokud si uvědomíme, že rozdíl hloubek je vlastně výška tělesa a součin výšky s podstavou je roven objemu V tělesa, máme před sebou konečný vztah pro výpočet velikosti vztlakové síly.

\(F_\mathrm{VZ}=V\varrho g\)

Představíme-li si kapalinu ve stavu beztíže, žádný význačný směr znamenající hloubku tam nenajdeme a vztlaková síla tam působit nebude.

Příklad 2

Vypočítejte velikost vztlakové síly, která působí na člověka o objemu 75 dm3 a hmotnosti 73 kg, který je zcela ponořený v čisté vodě. Jak se změní velikost této síly, jestliže se člověk ponoří do mořské vody o hustotě 1030 kg/m3? Porovnejte vztlakovou sílu s tíhovou silou.

Řešení:

Vztlakovou sílu spočítáme podle vzorce \(F_\mathrm{VZ}=V\varrho g\). V případě, že je člověk zcela ponořen, můžeme přímo dosadit:

čistá voda FVZ = 0,075 m3 ⋅ 1000 kg/m3 ⋅ 9,8 N/kg = 735 N

mořská voda FVZ = 0,075 m3 ⋅ 1030 kg/m3 ⋅ 9,8 N/kg = 757 N

Tíhová síla je stále stejná FG = mg = 73 kg ⋅ 9,8 N/kg = 715 N

Objem lidského těla se při dýchání mění. Když se v čisté vodě nadechnete, stoupáte k hladině, pokud vydechnete, klesáte ke dnu. Jak je to s člověkem v tomto příkladu?

Příklad 3

Borový kmen o hmotnosti 120 kg a hustotě 850 kg/m3 plave na hladině jezera. Jak velká část dřeva se nachází nad hladinou? Kmen zůstane v klidu na hladině, právě když se síla tíhová FG přesně vyruší se silou vztlakovou FVZ (tedy když nastane silová rovnováha). Hustotu vody znáte.

Řešení:

Tíhová síla působící na kmen je FG = mg = 120 kg ⋅ 9,8 N/kg = 1180 N.

Poněvadž kmen setrvává na hladině, nastává silová rovnováha, vztlaková síla je rovna síle tíhové, FVZ = FG = 1180 N.

Ze vztahu pro vztlakovou sílu můžeme vypočítat objem ponořené části kmene V1 = FVZ/(ϱg)= 1180 N/(1000 kg/m3 ⋅ 9,8 N/kg) = 0,120 m3.

Celkový objem kmene se snadno určí ze vztahu pro hustotu V = m/ϱ = 120 kg/850 kg/m3 = 0,141 m3.

Nad hladinou se tedy nachází objem V2 = VV1 = 0,141 m3 − 0,120 m3 = 0,021 m3, což představuje 15 % celkového objemu.

Odporová síla

Většina pohybů, které zkoumáme, děje se ve vzduchu. Ať už se jedná o jízdu na kole, pohyb automobilu na dálnici nebo třeba start rakety na vesmírnou misi. Vzduch klade pohybujícímu se tělesu odpor. Působí proti jeho pohybu, brzdí ho stejně jako třecí síla. Pro odpor vzduchu je však typické, že na rozdíl od tření silně závisí na rychlosti pohybujícího se tělesa. Proto se příliš neprojevuje při malých rychlostech a někdy ho můžeme úplně zanedbat. Odporová síla \(\Vec{F}_\mathrm{O}\) působí vždy proti směru rychlosti, jíž se těleso pohybuje vzhledem ke vzduchu (je celkem jedno, jestli se pohybuje těleso nebo vzduch nebo obojí). Tato síla vzniká nárazy proudících molekul na čelní stěnu a současně podtlakem, který se vytváří za obtékaným tělesem.

Vlastnosti odporové síly jsou shrnuty v následující tabulce.

Odporová síla \(\Vec{F}_\mathrm{O}\)
směr proti pohybu
velikost \(\displaystyle F_\mathrm{O}=\frac{1}{2}C\varrho S v^2\)
působiště povrch tělesa

Kde ρ je hustota tekutiny (např. vzduchu), S je čelní průmět tělesa, tj. maximální plocha, která vznikne rozříznutím tělesa kolmo ke směru pohybu. Veličina C se nazývá koeficient odporu a závisí na tvaru tělesa. Jeho hodnota se určuje experimentálně.

4.43 – Co je to čelní průmět?
Zdroj

Například při navrhování nových automobilů se měří v aerodynamickém tunelu. Konkrétní hodnoty koeficientů odporu najdete v tabulce koeficientů odporu vybraných automobilů a geometrických těles níže. Velmi důležitý je člen v2, který ukazuje, že se jedná o kvadratickou závislost síly na rychlosti. Při dvojnásobné rychlosti bude síla čtyřnásobná atd.

Poznámka na okraj: Obtékání těles

S tímto vztahem pro odporovou sílu musíme pracovat vždy, když při obtékání tělesa proudem tekutiny dochází ke vzniku turbulentního proudění za vzniku vírů (například při pohybu automobilů nebo raket, pohybu lodí, pádu dešťových kapek). Při velmi malých rychlostech (kapičky vodní mlhy ve vzduchu, sedimentace drobných částic ve vodě), které zaručí laminární proudění, můžeme použít jednodušší, tzv. Stokesův vzorec, ve kterém velikost odporové síly závisí pouze na první mocnině rychlosti \(F_\mathrm{O}=kv\).

4.44 – Rozdíl mezi těmito dvěma druhy proudění můžeme vidět na předcházející ilustraci. První obrázek znázorňuje laminární proudění. Proud tekutiny obejde těleso a za ním se opět spojí. Druhý a třetí obrázek znázorňují turbulentní proudění. Za obtékaným tělesem vznikají víry. V tomto případě působí na těleso větší odporová síla.
Zdroj
Koeficienty odporu vybraných automobilů a geometrických těles
koeficient odporu C automobil/těleso profil
1,4 dutá polokoule proti proudu, padák
1,2 rovinná deska kolmo k proudu
1,1 monopost formule 1
0,54 Mercedes třídy G
0,5 koule
0,41 Volvo 740
0,40 dutá polokoule po proudu
0,38 Citroen ID 19
0,36 Tatra 77
0,26 Jaguar XE
0,22 BMW řady 5
0,19 Volkswagen XL1 (koncept)
0,06 těleso proudnicového tvaru, profil křídla
Poznámka na okraj: Přemýšleli jste někdy, proč má golfový míček na povrchu mělké důlky?

Souvisí to s obtékáním míčku proudem vzduchu. Dobře to můžeme vidět na následujících obrázcích.

4.47 – Vzduch proudící kolem zcela hladkého míčku
Zdroj

V případě hladkého míčku se vzduch, který jej obchází po obou stranách, odtrhne příliš brzy. Za míčkem vznikne poměrně velká oblast nízkého tlaku s množstvím turbulencí, což vede k podstatnému snížení rychlosti míčku.

4.48 – Vzduch proudíci kolem běžného míčku, ve kterém jsou malé důlky
Zdroj

Jakmile má míček na svém povrchu množství důlků, obtékání vzduchu kolem míčku se zcela změní. Tenká vrstva vzduchu doslova ulpí na jeho povrchu, při obtékání tento nerovný povrch kopíruje a od povrchu míčku se odtrhne později. To vede k tomu, že oblast nízkého tlaku je menší a není takový prostor ke vzniku turbulencí. Odporová síla je znatelně menší a míček doletí mnohem dál.

Více o fyzice v golfu se můžete dozvědět z videí USGA.

Kontrolní otázka
Vyberte všechna správná tvrzení o odporové síle:


Příklad 4

Vypočítejte velikost odporové síly pro osobní automobil při rychlostech 90, 120, 150 km/h. Ze zdrojů dostupných na internetu můžeme určit pro automobil Škoda Octavia RS: C = 0,26, S = 2,14 m2, hustota vzduchu 1,2 kg/m3.

4.49 – Automobil Škoda Octavia při pohledu zpředu
Zdroj
Řešení:

Pro velikost odporové síly působící na jedoucí automobil platí vztah \(F_\mathrm{O}=\frac{1}{2}C\varrho S v^2\). Číselně vychází pro jednotlivé rychlosti: 206 N, 366 N a 574 N.

Příklad 5

Jedete na kole rychlostí 12 km/h nejdřív proti větru o rychlosti 6 km/h, a poté po větru o rychlosti 6 km/h. Kolikrát větší odporovou sílu budete muset překonávat v prvním případě oproti jízdě po větru?

Řešení:

Budete překonávat 9× větší sílu, protože při při jízdě proti větru kolem vás bude proudit vzduch 3× větší rychlostí a odporová síla je úměrná druhé mocnině rychlosti proudění.