Polohový vektor a popis pohybu

Ve třetí kapitole jsme se zabývali pouze pohyby po přímce. Nyní budeme chtít popsat pohyby v rovině nebo v prostoru, a proto musíme použít vektorové veličiny: polohový vektor \(\Vec{r}\), vektor rychlosti \(\Vec{v}\) a vektor zrychlení \(\Vec{a}\). Těleso jsme nahradili hmotným bodem, stejně tak tomu bude i v této kapitole.

Při popisu pohybu se snažíme nejprve určit, kde se těleso nachází. K určení polohy nám dobře slouží soustava kartézských souřadnic. Tato soustava se skládá z počátku O a několika os, které jsou na sebe navzájem kolmé a na nichž jsme určili jednotkovou velikost.

14.08 – Znázornění kartézské soustavy souřadnic.

Polohový vektor \(\Vec{r}=\overrightarrow{OM}=(x_M,y_M,z_M)\).

Polohový vektor je definován jako vektor, který začíná v počátku soustavy souřadnic a končí v bodě M, jehož polohu určujeme. Podívejme se, jak můžeme určit polohu bodu M v rovině (2D) nebo v prostoru (3D).

14.09a – Znázornění polohového vektoru v rovině a v prostoru.
14.09b – Znázornění polohového vektoru v rovině a v prostoru.

Odkaz na soubor v Geogebře: https://www.geogebra.org/3d/egbuvvcy

Pomocí kartézské soustavy souřadné vyjádříme polohový vektor následující způsobem: \(\Vec{r}=\overrightarrow{OM}=(x_M,y_M,z_M)\). Vidíme, že složky polohového vektoru odpovídají souřadnicím bodu M. To je možné právě proto, že polohový vektor začíná v počátku soustavy souřadnic \(O=(0,0,0)\). V následujícím textu budeme právě tímto způsobem zapisovat složky vektorů: \(\Vec{r}=\overrightarrow{OM}=(2\ \mathrm{m};4\ \mathrm{m};5\ \mathrm{m})\). Nesmíme zapomínat, že složky polohového vektoru představují vzdálenosti ve směru dané osy, a proto jde o čísla s odpovídající jednotkou, například cm nebo m.

Délka polohového vektoru představuje vzdálenost bodu M od počátku souřadnic. Vypočítat ji můžeme pomocí Pythagorovy věty zobecněné do 3D:

\[ r = |OM| = \sqrt{x_M^2+y_M^2+z_M^2} \]

Na obrázku vidíte záznam polohy v rovině tří dopravních letadel na letišti Václava Havla v Praze-Ruzyni. (K tomuto obrázku se vztahují všechny tři kontrolní otázky níže.)

14.10 - Mapa letiště Václava Havla.
Kontrolní otázka

Určete polohu letadla L2. Kartézská soustava souřadnic má počátek na začátku rozjezdové dráhy.




Kontrolní otázka
Jak je letadlo L2 daleko od začátku rozjezdové dráhy?

Kontrolní otázka

Co se nachází v bodě s polohovým vektorem o souřadnicích \((-400\ \mathrm{m};1000\ \mathrm{m})\)?




V daném bodě se nachází nádraží v obci Dobrovíz.

Pokud pohyb probíhá v rovině, pak si při správné volbě vztažné soustavy vystačíme pouze se souřadnicemi \((x,y)\). Poslední souřadnice \(z=0\), proto ji dále nemusíme zapisovat. Právě takové pohyby budeme studovat v této kapitole.

Poznámka na okraj: Další druhy souřadných soustav

Kartézská soustava je pravoúhlá. Pokud chceme popsat pohyb, který probíhá po kružnici, je lepší použít polární souřadnice \((r,\varphi)\), kde souřadnice \(r\) určuje vzdálenost tělesa od počátku a úhel \(\varphi\) je úhel, který svírá polohový vektor \(\Vec{r}\) se zvolenou osou, nejčastěji osou \(x\) v kartézské soustavě. V tomto případě je velikost první souřadnice \(r\) stále stejná (poloměr kružnice = \(r\)) a k popisu pohybu po kružnici nám postačuje sledovat změny souřadnice \(\varphi\).

14.11 – Kartézské souřadnice v rovině
14.12 – Polární souřadnice v rovině

Pro přechod od kartézských souřadnic k polárním souřadnicím využíváme následující vztahy, které vyplývají z obrázku:

\[ r_M = \sqrt{x_M^2+y_M^2}\;,\qquad \tan\varphi_M=\frac{y_M}{x_M}\;. \]
14.13 - Převod mezi kartézskými a polárními souřadnicemi.

Souřadnice \(r_M\) odpovídá velikosti přepony v pravoúhlém trojúhelníku OLM, kde odvěsny jsou rovny souřadnicím bodu M. Podíl protilehlé \(y_M\) a přilehlé odvěsny \(x_M\) tohoto trojúhelníka odpovídá funkci \(\tan\varphi\).

Pro přepočet polárních souřadnic na kartézské pak můžeme využít funkcí sinus a kosinus ve stejném pravoúhlém trojúhelníku OLM:

\[ x_M = r_M\cos\varphi_M \quad\hbox{a}\quad y_M = r_M\sin\varphi_M\;. \]

Máme-li popsat polohu tělesa v prostoru, můžeme využít válcové souřadnice \((r,\varphi,z)\) nebo sférické souřadnice \((r,\vartheta,\varphi)\).

Převod z kartézských do polárních souřadnic a zpět si můžete vyzkoušet zde:

  1. Převod z kartézských souřadnic bodu M \((-2\ \mathrm{cm};4\ \mathrm{cm})\) do polárních:

    \[ \begin{aligned} r_M &= \sqrt{x_M^2+y_M^2} = \sqrt{(-2)^2+4^2}\ \mathrm{cm} = \sqrt{20}\ \mathrm{cm}=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}\;, \\ \tan\varphi_M &= \frac{y_M}{x_M} = \frac{4}{-2} = -2\;, \\ \end{aligned} \]

    odsud pak vyjádříme \(\varphi=-1{,}1\ \mathrm{rad}\).

    Polární souřadnice bodu M jsou \((2\sqrt{5}\ \mathrm{cm};-1{,}1\ \mathrm{rad})\).

  2. Převod polárních N \((3{,}1\ \mathrm{cm};1{,}2\ \mathrm{rad})\) do kartézských:

    První polární souřadnice bodu N je jeho vzdálenost od počátku \(r_N=3{,}1\ \mathrm{m}\) a druhá je velikost úhlu v radiánech \(\varphi_N=1{,}2\ \mathrm{rad}\). Pro výpočet kartézských souřadnic použijeme vztahy

    \[ \begin{aligned} x_N &= r_N\cos\varphi_N = 3{,}1\ \mathrm{cm}\cdot\cos(1{,}2) = 1{,}1\ \mathrm{cm} \\ y_N &= r_N\sin\varphi_N = 3{,}1\ \mathrm{cm}\cdot\sin(1{,}2) = 2{,}9\ \mathrm{cm} \\ \end{aligned} \]

    Kartézské souřadnice bodu N tedy jsou \((1{,}1\ \mathrm{cm}; 2{,}9\ \mathrm{cm})\).

Podívejme se, co se děje s polohovým vektorem, když se těleso pohybuje. Názornou představu si můžete udělat v následující animaci: https://www.geogebra.org/calculator/vpht6skg. Polohový vektor \(\Vec{r}\) mění svůj směr i velikost.

14.14 – Změny polohového vektoru.
Příklad 1

V následující tabulce jsou zapsány souřadnice \(x\) a \(y\) hmotného bodu. Mezi záznamem jednotlivých bodů uplynul čas 0,20 s.

  1. Narýsujte polohový vektor v jednotlivých pozicích hmotného bodu.
  2. Určete, zda se hmotný bod pohybuje. Jestliže ano, po jaké křivce?
x (cm) y (cm)
r1 9,6 −2,9
r2 8,7 5,0
r3 4,3 9,0
r4 −0,7 10
r5 −4,2 9,1
r6 −6,7 7,4
Řešení:

a) Polohový vektor je na následujícím obrázku:

14.15 - Polohový vektor v jednotlivých pozicích.

b) Hmotný bod se pohybuje, vidíme, že polohový vektor se otáčí. Křivka, po níž se hmotný bod pohybuje, je část kružnice se středem v bodě O. Výpočtem lze ověřit, že délka polohového vektoru čili vzdálenost od počátku je stále stejná:

\[ r_1 = \sqrt{9{,}6^2+(-2{,}9)^2}\ \mathrm{cm} = 10\ \mathrm{cm}\;, \]

stejně tak i pro ostatní polohové vektory.

Vezmeme-li v uvahu množinu všech bodů, kde se hmotný bod v průběhu svého pohybu (v různých časech) nacházel, získáme spojitou křivku, která se nazývá trajektorie. V naší první ukázce, kdy je trajektorií část přímky, jde o přímočarý pohyb. V řešeném příkladu jsme studovali pohyb po kružnici se středem v bodě O. Jak najít střed kruhové trajektorie, to si můžete vyzkoušet v laboratorní práci.

Důležitou veličinou popisující pohyb je vektor posunutí \(\Delta\Vec{r}\).

Vyjadřuje změnu polohy tělesa, jak vidíme na následujícím obrázku záznamu pohybu v rovině.

14.17 – Pohyb v rovině a určení vektoru posunutí \(\Delta\Vec{r}\).

Vektor posunutí \(\Delta\Vec{r}=\Vec{r}_2-\Vec{r}_1\)

Vektor posunutí je definován jako rozdíl dvou vektorů, proto i jeho složky získáme odečtením složek polohových vektorů \(\Vec{r}_1\) a \(\Vec{r}_2\):

\[ \Delta\Vec{r} = (\Delta x,\Delta y) = (x_2-x_1,y_2-y_1)\;. \]
14.18 – Složky vektoru posunutí \(\Delta\Vec{r}\).
Příklad 2

Na následujícím obrázku vidíme rovný úsek železniční trati mezi Velimí a Pečkami. Vlak vyjíždí z Velimi v 10:08 a zastavuje v Pečkách v 10:24.

14.19 – Železniční trať Velim–Pečky.
  1. Určete polohový vektoru vlaku ve stanici Velim a poté ve stanici Pečky.
  2. Vypočítejte složky vektoru posunutí \(\Delta\Vec{r}\).
  3. Zakreslete počáteční a koncovou polohu a vektor posunutí do obrázku.
Řešení:

a) Poloha stanice Velim: \(\Vec{r}_1=(7800\ \mathrm{m};2000\ \mathrm{m})\), poloha stanice Pečky: \(\Vec{r}_2=(800\ \mathrm{m};4500\ \mathrm{m})\).

b) Vektor posunutí má složky:

\[ \Delta\Vec{r} = \Vec{r}_2-\Vec{r}_1 = (800\ \mathrm{m}-7800\ \mathrm{m};4500\ \mathrm{m}-2000\ \mathrm{m})=(-7000\ \mathrm{m};2500\ \mathrm{m}) \]

c) Zákres vektorů do obrázku:

Obrázek 14.20 - Posunutí vlaku.

I kdyby trať nebyla přímočará, vektor posunutí se nezmění, neboť závisí jen na počáteční a koncové poloze vlaku.

Poznámka na okraj: Konstrukce vektoru posunutí

Vektor posunutí \(\Delta\Vec{r}\) narýsujeme tak, že spojíme šipkou počáteční a koncový bod. V této poznámce dokážeme, že toto pravidlo odpovídá jeho definici \(\Delta\Vec{r}=\Vec{r}_2-\Vec{r}_1\).

Tento vektor získáme tak, že odečteme polohové vektory ve dvou uvažovaných bodech:

\[ \Delta\Vec{r} = \Vec{r}_2 - \Vec{r}_1 = \Vec{r}_2 + (-\Vec{r}_1)\;. \]

Sečíst dva vektory již umíme, stačí je doplnit na rovnoběžník. Výsledný vektor pak bude odpovídat vektoru, který začíná v prvním studovaném bodě a končí v druhém z nich. V našem případě \(\Delta\Vec{r}=\Vec{r}_2-\Vec{r}_1=\overrightarrow{A_1A_2}\). Takto jednoduše ho budeme vždy konstruovat. Jak uvidíme dále, vektor posunutí je rovnoběžný s vektorem rychlosti.

14.21 – Konstrukce vektoru posunutí.

https://www.geogebra.org/classic/rytj5b9q