Ve třetí kapitole jsme zavedli okamžitou rychlost na ose \(x\) jako \(v_x=\Delta x/\Delta t\). Tato definice zahrnuje také informaci o směru pohybu tělesa. Je-li hodnota rychlosti kladná, hmotný bod se pohybuje ve směru dané osy, je-li záporná, hmotný bod se pohybuje proti směru této osy.
Směr pohybu, a tudíž i rychlosti je velmi důležitý (není jedno, zda jdete do školy, či ze školy :-). Když přecházíme ulici, vždy se pečlivě rozhlédneme a vyhodnotíme, jakým směrem a jakou rychlostí se pohybují projíždějící automobily.
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2022/01/14_22.jpg)
Zdroj
Nikdo nechce, aby vešel do cesty červenému automobilu. Naopak modrý automobil, přestože jede stejně rychle jako červený, nás nijak neohrožuje. Víme totiž, že směr jeho pohybu je rovnoběžný s naším, a trajektorie našich pohybů se ani neprotnou.
Rychlost je vektorová veličina – hovoříme o vektoru rychlosti \(\Vec{v}\) a můžeme ji snadno definovat pomocí vektoru posunutí.
Okamžitá rychlost: \(\Delta t\) – velmi malé
Průměrná rychlost: \(\Delta t\) – celková doba pohybu
Velikost rychlosti = velikost posunutí \(\Delta r\) dělená dobou \(\Delta t\), za kterou proběhlo
Okamžitá rychlost má vždy směr tečny k trajektorii. Dobrou představu o směru okamžité rychlosti si můžete udělat na následující animaci. Ukazuje směr vektoru posunutí. Když přiblížíme body M1 a M2 blízko k sobě, ze sečny k trajektorii se stává tečna a to je také směr vektoru okamžité rychlosti v bodě M.
Animace v Geogebře: https://www.geogebra.org/calculator/ked53gkn
Rychlost \(\Vec{v}\) podle definice můžeme rozepsat do složek takto:
\[ \Vec{v} = \frac{\Delta\Vec{r}}{\Delta t} = \left(\frac{\Delta x}{\Delta t},\frac{\Delta y}{\Delta t}\right) = (v_x,v_y)\;. \]![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2022/01/14-23.jpg)
Zdroj
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2021/05/ICO_0015_priklad.png)
Kabinka lanovky na obrázku se pohybuje rychlostí o velikosti 2,9 m/s. Na přímém úseku vystoupá o 309 m na vodorovné vzdálenosti 792 m. Určete složky rychlosti kabinky. Jak dlouho bude lanovce trvat, než překoná celkový výškový rozdíl mezi stanicemi, který činí 822 m?
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2022/01/14-24.jpg)
Zdroj
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2021/02/ICO_0012_down_arrow.png)
Převýšení 309 m na vodorovné vzdálenosti 792 m odpovídá pravoúhlému trojúhelníku s úhlem α o velikosti 21° 19′ při delší odvěsně.
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2022/01/14-25.jpg)
Zdroj
Pro rychlost a její složky tedy platí: \(\sin\alpha=v_y/v\), \(\cos\alpha=-v_x/v\). Odtud pak získáme
\[ \begin{aligned} v_x &= -v\cos\alpha = -2{,}9\cdot\cos(21^\circ\,19') = -2{,}7\ \mathrm{m\cdot s}^{-1}\\ v_y &= v\sin\alpha = 2{,}9\cdot\sin(21^\circ\,19') = 1{,}1\ \mathrm{m\cdot s}^{-1}\\ \end{aligned} \]Při vertikální rychlosti o velikosti \(v_y=1{,}1\ \mathrm{m/s}\) lanovka překoná výšku mezi stanicemi za
\[ t = \frac{h}{v_y} = \frac{822\ \mathrm{m}}{1{,}1\ \mathrm{m/s}} = 747\ \mathrm{s}\;. \]![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2021/02/ICO_0011_up_arrow.png)
V angličtině narazíte na dva pojmy: speed a velocity. První z nich označuje velikost rychlosti tělesa. Například na tachometru (anglicky speedometer) vidíte 75 mph (přibližně 120 km/h). Víme, jak rychle se pohybujeme, ale vůbec nevíme, jakým směrem.
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2022/01/14-26.jpg)
Zdroj
Na dalším obrázku vidíme několik automobilů. Řekněme, že osobní automobily mají rychlost o velikosti 120 km/h (tedy speed). Jejich „velocity“ jsou však různé. Pohybují se ve dvou různých směrech. V češtině máme jen jedno slovo – rychlost. Z kontextu musíme poznat, jestli máme na mysli vektorovou veličinu rychlost (velocity), nebo jen velikost rychlosti (speed).
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2022/01/14-27a.jpg)
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2022/01/14-27b.jpg)
Zdroj
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2021/05/ICO_0015_priklad.png)
Vraťme se ještě jednou k pohybu vlaku mezi stanicemi Velim a Pečky.
Zjistili jsme, že posunutí \(\Delta\Vec{r} = (-7000\ \mathrm{m};2500\ \mathrm{m})\). Vlak vyjíždí z Velimi v 10:08 a zastavuje v Pečkách v 10:24. Jeden čtvereček na mapě znázorňuje plochu 1000x1000 m.
Určete průměrnou rychlost vlaku mezi stanicemi a také její velikost.
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2021/02/ICO_0012_down_arrow.png)
Doba pohybu je \(\Delta t=t_2-t_1=16\ \mathrm{minut}=960\ \mathrm{s}\).
Průměrná rychlost je vyjádřena vztahem \(\Vec{v}=\Delta\Vec{r}/\Delta t\). Rychlost \(\Vec{v}\) má složky
\[ \begin{aligned} v_x &= \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{-7000}{960} = -7{,}3\ \mathrm{m\cdot s}^{-1} \\ v_y &= \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{2500}{960} = 2{,}6\ \mathrm{m\cdot s}^{-1} \\ \end{aligned} \]Rychlost \(\Vec{v}\) zapíšeme \(\Vec{v}=(-7{,}3; 2{,}6)\ \mathrm{m\cdot s}^{-1}\).
Velikost vektoru získáme z Pythagorovy věty
\[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{7{,}3^2+2{,}6^2}=7{,}7\ \mathrm{m\cdot s}^{-1}\;. \]![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2021/02/ICO_0011_up_arrow.png)
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2021/05/ICO_0015_priklad.png)
Na následujícím obrázku jsou znázorněny čtyři po sobě jdoucí polohy pohybujícího se tělesa. Doba, která uplynula mezi dvěma po sobě jdoucími pozicemi, je \(\tau=25\ \mathrm{ms}\). Určete velikost rychlosti tělesa v bodě M2. Rychlost \(\Vec{v}_2\) zakreslete do obrázku. Doporučené měřítko: \(1\ \mathrm{cm}\sim25\ \mathrm{cm\cdot s}^{-1}\) (PDF ke stažení).
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2022/01/image9.jpg)
Zdroj
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2021/02/ICO_0012_down_arrow.png)
Naše řešení nemůže být zcela přesné, musíme vycházet z naměřených bodů. Pro výpočet okamžité rychlosti v určitém bodě si vybereme nejmenší možné okolí tohoto bodu. Jestliže tedy určujeme rychlost v bodě M2 dle zadání, volíme nejbližší předcházející a následující bod (M1 a M3).
Podle definice \(\Vec{v}=\Delta\Vec{r}/\Delta t\), kde \(\Vec{r}=\overrightarrow{M_1M_3}\) a \(\Delta t=2\tau\). Vzdálenost M1M3 změříme v záznamu a pro velikost rychlosti dostáváme
\[ v_2 = \frac{|M_1M_3|}{2\tau} = \frac{5{,}2\ \mathrm{cm}}{2\cdot0{,}025\ \mathrm{s}} = 104\ \mathrm{cm\cdot s}^{-1} \]Z definice plyne i směr rychlosti: \(\Vec{v}_2\) je rovnoběžná s vektorem \(\overrightarrow{M_1M_3}\). Zvolíme-li měřítko \(1\ \mathrm{cm}\sim25\ \mathrm{cm\cdot s}^{-1}\), do bodu M2 narýsujeme vektor o délce 4,2 cm.
Celou konstrukci si můžete zobrazit zde https://www.geogebra.org/calculator/ka87eswm.
![](https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2021/02/ICO_0011_up_arrow.png)