Po teoretické stránce máme vše, co potřebujeme. Vztahy pro jednotlivé druhy sil a tři pohybové zákony. Prozatím jsme se ale omezili na úlohy, které nevyžadují práci s vektory. Pohybu v rovině a v prostoru se věnujeme samostatně v kapitole 14. Na závěr této kapitoly se ještě podíváme na rozbor situací, kde vystupuje více těles.
Určete zrychlení nákladního vlaku sestávajícího z lokomotivy (např. Škoda ES 499.1 mající hmotnost 87 t, maximální tažnou sílu 176,5 kN) a dvou vagonů (čtyřnápravový vysokostěnný vůz s nákladem o hmotnosti 64 t). Vypočítejte velikosti tahových sil mezi vagony.
Tažná síla lokomotivy je vlastně výslednou silou působící na soupravu o celkové hmotnosti
Síly působící na soupravu rozkreslíme v následujícím schématu:
Pro síly mezi vagony pak stačí použít druhý Newtonův zákon a dostáváme:
Dvě závaží o hmotnostech
Zrychlení obou závaží musí být stejné, protože délka lana je stále stejná, obě závaží se pohybují shodně. Těžší dolů, lehčí nahoru. Tahová síla, kterou působí lano na závaží FT, musí být pro obě závaží stejně velká, protože kladka pouze mění směr síly, nikoliv její velikost.
Do obrázku zakreslíme síly, které působí na obě tělesa, stejně jako jejich výslednice
Závaží číslo 1 se bude pohybovat vzhůru (v kladném směru osy x) a závaží číslo 2 se bude pohybovat dolů (v záporném směru osy x). Abychom určili síly působící na lano
Tuto soustavu dvou rovnic o neznámých
Pro velikost zrychlení tedy platí:
Velikost tahové síly lana pak vyjádříme z první rovnice:
Odvoďte, jak se bude pohybovat volně puštěné těleso v gravitačním poli blízko zemskému povrchu (např. kámen padající z věže). Řekněme, že se na začátku pohybu kámen o hmotnosti 270 g nachází ve výšce 17 m nad zemí. Uvolníme ho bez počáteční rychlosti
- bez započítání odporu vzduchu (volný pád),
- se započítáním odporu vzduchu (reálný pád).
a) Neuvažujeme-li odpor vzduchu, jedinou silou, která uděluje kameni zrychlení (o velikosti g) je tíhová síla o velikosti
b) Chceme-li řešit tuto úlohu se započítáním odporu vzduchu, musíme vzít v úvahu další sílu působící na kámen – odporovou sílu vzduchu
Odtud pak můžeme mezní rychlost vyjádřit vztahem
Nárůst odporové síly i rychlosti tělesa si můžete prohlédnout na následující animaci.
Úlohy, kde vystupují v čase proměnlivé síly, se řeší numerickými metodami (početními) nebo pomocí diferenciálních rovnic. Při numerickém řešení se snažíme postupovat krok po kroku. Vyjdeme z nějakých počátečních podmínek, například počáteční rychlost tělesa, a vypočítáme za pomoci druhého Newtonova zákona zrychlení tělesa v daném časovém okamžiku. Zvolíme malý časový krok, například Δt = 0,1 s, a určíme, o kolik se za tuto dobu změnila rychlost tělesa. Protože se změnila rychlost tělesa, změnila se i velikost odporové síly, a tím i hodnota zrychlení. Opět vypočítáme jeho hodnotu a opět vypočítáme novou hodnotu rychlosti o krok dt později. A tento postup stále opakujeme.
Numerické řešení na papíře je velmi pracné, pokud si ho však chcete vyzkoušet pomocí počítače a nasimulovat si různé druhy reálných pádů, podívejte se na podrobný návod v praktiku 15. kapitoly.
Budete si moci například vypočítat, s jakou rychlostí dopadne penny z Empire State Building nebo jiné podobné úlohy.
Video 5.46b – Simulace pádu s odporovou silou.
Media error: Format(s) not supported or source(s) not found
Stáhnout soubor: https://e-manuel.cz/wp-content/uploads/2021/03/video5-terminalni-rychlost.mp4Vypočítejte maximální rychlost pádu dešťové kapky kulovitého tvaru o průměru 2 mm.
Kapka, a pro jednoduchost předpokládejme, že je kulovitého tvaru, dosáhne maximální rychlosti v okamžiku, kdy se obě působící síly, tedy tíhová a odpor vzduchu, vyrovnají. Jejich výslednice bude nulová a kapka se bude dále pohybovat pohybem rovnoměrným. Podle Newtonova vztahu pro velikost odporové síly je její velikost úměrná druhé mocnině rychlosti. Platí vztah
kde ϱ je hustota vody. Číselně pak rychlost nabývá hodnoty 3,84 m/s, což odpovídá našim zkušenostem. Vodní kapky tedy díky nezanedbatelné odporové síle vzduchu dopadají na zem s mezní rychlostí přibližně 4 m/s. Samozřejmě závisí na jejich velikosti.
Poznámka: Hezký článek o tvaru dešťových kapek naleznete na https://www.meteopress.cz/vysvetleni/jaky-tvar-ma-destova-kapka/.